前 言
本書旨在使讀者理解經(jīng)濟模型化思想以及如何運用數(shù)學(xué)模型化的方法和技巧，解決經(jīng)濟問題。 數(shù)學(xué)模型化（Mathematical Modelling）是指提出、設(shè)計、建立、求解、論證及使用數(shù)學(xué)模型的整個過程。其目的在于研究開發(fā)數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域中分析問題、邏輯思維和輔助決策的作用和功能。
本書共由四個模塊構(gòu)成:
第一模塊為經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化過程的基礎(chǔ)理論部分，主要包括數(shù)學(xué)模型基本理論、數(shù)學(xué)模型化一般程序、以及為實現(xiàn)模型化必須進行的信息收集與評價等內(nèi)容。這部分由三章組成：第一章在給出各種簡單數(shù)學(xué)模型的基礎(chǔ)上，討論了數(shù)學(xué)模型的基本概念和性質(zhì)，闡明了模型與原型及其邏輯關(guān)系。第二章在明確信息的數(shù)量化是建造模型的前提下，討論了數(shù)量化與量綱的問題，然后對數(shù)學(xué)模型的特性、應(yīng)用條件及應(yīng)用的評判準則進行了說明，最后詳細論述了模型化過程的問題。第三章介紹了模型化信息的收集方法和模型化信息的處理方法。
第二模塊為微觀經(jīng)濟數(shù)量決策分析模型的討論與研究，主要內(nèi)容包括運籌學(xué)模型化過程中如何表述目標，確定環(huán)境因素，選擇標準數(shù)學(xué)模型，最優(yōu)性條件的確定及最優(yōu)解（或滿意解）的求出。這部分內(nèi)容由第四章、第五章組成：第四章論述了銷售機理模型化過程，主要由銷售機理分析、成本機理分析、風(fēng)險機理分析、時間機理分析、約束問題分析等部分構(gòu)成；第五章在第四章銷售機理模型化過程的基礎(chǔ)上，給出了多目標多指標模型的一般形式。并對單目標最優(yōu)解的性質(zhì)進行了分析。指出了各種經(jīng)濟量對數(shù)量決策的影響。此外研究了非線性共軛對偶理論的應(yīng)用。
第三模塊內(nèi)容由兩部分構(gòu)成：第一部分介紹了系統(tǒng)論的思想與方法，第二部分為計量經(jīng)濟模型化過程。
本模型塊由第六章、第七章組成：
第六章主要討論經(jīng)濟控制論模型，首先闡述了系統(tǒng)論的方法和規(guī)律，最后給出了一個具體宏觀經(jīng)濟控制模型。
第七章為計量經(jīng)濟模型分析，計量模型的特點在于首先提出經(jīng)濟假說，然后確立變量之間的因果關(guān)系，在收集統(tǒng)計資料的基礎(chǔ)上，估計模型參數(shù)，并對其結(jié)果進行檢驗。最后運用模型估計進行經(jīng)濟預(yù)測和政策評價。本章包括計量模型分析的基礎(chǔ)和建立計量模型的一些基本方法。首先討論構(gòu)成計量分析基礎(chǔ)的最小二乘法，然后指出在實證分析中運用計量模型應(yīng)注意的幾個問題，最后探討計量分析的一些新發(fā)展。
第四模塊為本書的最后一章，作為經(jīng)濟模型化過程的應(yīng)用實例，在本章中給出了幾個案例，主要涉及到宏觀經(jīng)濟周期變化、投資模型的最優(yōu)條件、宏觀經(jīng)濟增長模型以及經(jīng)濟學(xué)中的效用等問題。
第八章主要內(nèi)容如下：
首先討論卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型和最優(yōu)外資規(guī)模的決定模型，然后對馬克思的擴大再生產(chǎn)圖式與哈羅多―多馬模型進行比較，最后討論市場經(jīng)濟中消費者經(jīng)濟行為的數(shù)學(xué)模型描述以及企業(yè)的行為表征。
本書作者之一楊健博士自1986年在中國人民大學(xué)開設(shè)全校研究生選修課程”經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化”。此后，龔德恩教授、任朝佐教授、嚴守權(quán)副教授、趙國慶副教授等都曾講授此課程，他們的貢獻推動了經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化的研究。十年后的今天此書終于在同行們的關(guān)心下問世。
此外，中國人民大學(xué)的魏權(quán)齡教授、英國蘭卡斯特大學(xué)的Graham K.Rand教授、日本國京都大學(xué)的森棟公夫教授，都曾對本書提出許多非常有益的建議，在此一并向他們表示衷心的謝意。
特別要提到的是王戈、周國棟、崔惠軍、尹明玉，他們在本書的打印輸入及校對公式中付出了艱辛的勞動。中國人民大學(xué)出版社潘旭燕女士作為本書的責(zé)任編輯付出了辛勤勞動，在此謹表謝意。
本書中的一些研究成果為國家”211″工程項目 “中國宏觀經(jīng)濟運行模擬和分析系統(tǒng)” 的一部分，本書的部分章節(jié)構(gòu)成北京市普通高等學(xué)校教育教學(xué)改革試點立項研究的基礎(chǔ)。
本書作為經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化過程分析的一個嘗試還存在著不少不足之處，懇切希望廣大讀者指正。
著 者
1998年8月
第一章 數(shù)學(xué)模型概論
§1.1 引言
任何模型都是原型的一種表現(xiàn)形式，而原型則指我們所研究的對象。我們所討論的模型是依據(jù)原型，由人來構(gòu)造的模型，它是人對客觀世界的一種理解。廣義而言，由于世間的事物皆有同一性，故任何事物都可能成為另一事物的模型；但對千差萬別的具體事物而言，模型又是有條件的。
構(gòu)造模型是研究和解釋客觀世界的一種手段。它使人們在比原型現(xiàn)存條件更為有利的條件下研究原型。模型可以是實體，也可以是理論；既可以定性，也可以定量；可以具體，亦可抽象。借助模型，人們可以從不同的側(cè)面、不同的層次，去認識原型。尤其是在現(xiàn)實世界里，有一些研究工作無法在原型上直接進行，因此人們需要構(gòu)造模型來解決理論和實踐中的問題。模型是對原型的一種近似，它們之間存在著某種因果關(guān)系。抽象地說，模型是原型的映象。
模型的性質(zhì)
作為一個模型，應(yīng)具備以下三個性質(zhì)：
1.近似性：模型是原型若干特征或內(nèi)在聯(lián)系的模仿或近似。
2.主觀性：模型基于構(gòu)模者對原型以及”模型空間”的理解。
3.能動性：模型可以能動地反映原型，乃至在時空上超越原型的現(xiàn)狀。
正是模型的這些性質(zhì)，使得人們愈來愈多地利用模型，重視模型，并開始探索建模的方法。建立模型不僅需要對原型的深刻理解，而且需要一定的技巧、抽象和想象力。模型化方法是學(xué)習(xí)建模的基礎(chǔ)，抽象與想象則需在實踐中培養(yǎng)。就如作畫需要對景物的敏銳觀察，訓(xùn)練有素的技巧和藝術(shù)的抽象與想象。當然，不斷地鉆研、探索、創(chuàng)新，是步入科學(xué)殿堂的必由之路。
對于同一原型，可以有不同的模型。如何評價模型的優(yōu)劣是模型化關(guān)心的問題之一。模型的價值應(yīng)取決于模型化的目的。換言之，模型的優(yōu)劣應(yīng)由其解決問題的優(yōu)劣而定。如果一個模型突出了原型的主要矛盾和主要特征，從而有助于我們分析和解決問題，它就是一個好模型。
模型的種類甚多。依據(jù)不同的準則，有以下幾類主要的模型：
1.按照相似程度劃分：
有同構(gòu)模型(Isomorphic Model)和同態(tài)模型(Homomorphic Model)。前者與其原型之間存在著一一對應(yīng)的關(guān)系，即同構(gòu)關(guān)系；后者與其原型的部分相對應(yīng)，依其相似程度可細分為精確的(Acurate)、適度的(Adequate)、和粗略的(Coarse)三種同態(tài)模型。
2.按照結(jié)構(gòu)性態(tài)劃分：
有形象模型(Iconic Model)和抽象模型(Abstract Model)之分。前者是由改變現(xiàn)實原型的度量、尺度或維數(shù)而得到的，其構(gòu)造多為依據(jù)P定理（見第二章）和相似性原理，故又稱比例模型(Scale Model)；后者是用抽象的符號、圖表、語辭等表述的模型。抽象模型又可細分為3類：
1）比擬模型(Analog Model)：它建立在不同的事物之間，模型與原型存在著同構(gòu) 或同態(tài)的關(guān)系。例如用一組可控的條件來表征真實原型，通過模擬性實驗研究原型的 變化規(guī)律，這組可控條件就是比擬模型。
2）概念模型(Concept Model)：它是憑借現(xiàn)有的知識，提出的關(guān)于原型的結(jié)構(gòu)與特 性的表述。概念模型往往是抽象的、原始的。
3）數(shù)學(xué)模型(Mothematical Model)：它是用數(shù)學(xué)語言表達原型結(jié)構(gòu)、特征、及內(nèi)在 聯(lián)系的模型。例如，用字母、數(shù)字或其它有特別含意的數(shù)學(xué)符號建立起來的等式、不 等式、圖象、以及框圖等，都是數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，當它們表征一個特定原型時，就是數(shù)學(xué) 模型。
3.按照對原型的了解程度劃分：
有白箱模型(White Box Model)、黑箱模型(Black Box Model)和灰箱模型(Grey Box Model)三種。構(gòu)模者對原型內(nèi)部的結(jié)構(gòu)與特性的了解程度分別是完全了解、完全不了解和部分了解。
關(guān)于模型的劃分，不同的準則劃分的類型也不同。例如有人認為能真正劃分的模型只有兩類：實物模型(Physical or Material Model)和符號模型(Symbolic or Formal Model)。實物模型是有形的、可觸知的、實體的模型化表達，模型的元素由物質(zhì)或硬件構(gòu)成。如形象模型、硬件比例模型、和比擬計算機模型等。符號模型是理論的、符號的、抽象的模型化表達，模型元素由原型的特定結(jié)構(gòu)或行為的若干方面的符號表述。如圖樣、語詞表達、邏輯模型、數(shù)學(xué)模型以及計算機程序等等。關(guān)于模型的性質(zhì)及其分類將在第二章進行詳細地討論。
在一切模型之中，數(shù)學(xué)模型是用途最廣泛的一種。多少世紀以來，數(shù)學(xué)以其高深玄妙而被譽為自然科學(xué)的”皇后”。然而在科學(xué)技術(shù)突飛猛進的今天，多學(xué)科相互交融，邊緣學(xué)科不斷涌現(xiàn)。”皇后”屈尊降為各學(xué)科的”侍女”，應(yīng)運而生的交叉學(xué)科舉不勝舉。如生物數(shù)學(xué)、數(shù)理醫(yī)藥學(xué)、計量經(jīng)濟學(xué)、計量地理學(xué)、數(shù)量經(jīng)濟學(xué)等等，猶如群芳爭春，競相綻放。雖然新學(xué)科各有異彩，人們注意到一個事實：它們的共同之處就是都借助數(shù)學(xué)模型研究各自的原型世界！這些新興學(xué)科的成功無一不是得益于數(shù)學(xué)模型的利用。尤其是在這個計算機時代，往日只有數(shù)學(xué)家才能完成的計算工作，如今一般人也能完成，這一切使得數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用成為可能，因此，模型化工作日益受到人們的重視。
應(yīng)當看到，即使在今天，人們對數(shù)學(xué)模型的本質(zhì)仍有許多誤解。例如有人認為數(shù)學(xué)模型是一種語言，很容易予以文字解釋。這恰恰與實際情況相左，數(shù)學(xué)模型的一般性常常使人不知所云。還有人認為數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果總是正確的，科學(xué)的，這也是荒謬的。雖然基于一組自封閉的公理系統(tǒng)的數(shù)學(xué)本身，在前提正確和推理無誤的條件下，結(jié)果必然正確。但是數(shù)學(xué)模型畢竟不是數(shù)學(xué)理論，它基于關(guān)于原型的假說，因此數(shù)學(xué)推證充其量是一個佐證。假說必須用事實驗證，換言之，不論是前提還是結(jié)果都必須以事實為依據(jù)。最后需要指出的錯誤觀點是認為數(shù)學(xué)模型沒有用處。我們且不贅舉數(shù)學(xué)模型的輝煌成就，僅以質(zhì)與量是構(gòu)成事物屬性的兩個方面，缺少量的刻劃則無法全面地認識事物，就足以反駁這種觀點。
本書著重探討經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化方法以及模型化理論與程序。在經(jīng)濟工作中利用數(shù)學(xué)模型進行分析、預(yù)測、研究和決策，往往可以增加收益，降低消耗、減免風(fēng)險、縮短時間、合理地利用有限的資源以獲得最佳的效益。隨著計算機的普及和計算機技術(shù)的發(fā)展，數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟領(lǐng)域?qū)⒂懈鼜V泛的應(yīng)用。
§1.2 數(shù)學(xué)模型基本概念
數(shù)學(xué)模型是相對于一定的概念、系統(tǒng)、或過程而存在的。E.A.本德[5]在他的《數(shù)學(xué)模型引論》中這樣寫道：”數(shù)學(xué)模型是關(guān)于部分現(xiàn)實世界和為一種特殊目的而作的一個抽象的、簡化的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。”具體地講，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)就是由若干字母、數(shù)字、及含有特定意義的符號建立起的等式、不等式、序關(guān)系、邏輯式、圖表、圖象和框圖。數(shù)學(xué)模型和原型是一對范疇，相互依存、相互對立。孤立的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)不是嚴格意義下的數(shù)學(xué)模型。數(shù)學(xué)模型化的概念與數(shù)學(xué)模型不同，它是指建立數(shù)學(xué)模型和利用數(shù)學(xué)模型的全過程?？梢詳嘌?，從研究數(shù)學(xué)模型轉(zhuǎn)到研究數(shù)學(xué)模型化是一個必然的趨勢。模型化研究具有廣闊前景。
在此我們介紹幾個簡單的模型，使我們形成對數(shù)學(xué)模型的直觀認識。
【例1.2.1】資源的配置
資源短缺是全世界共同面臨的問題。如何有效地利用現(xiàn)有的資源，使經(jīng)濟單位自身的經(jīng)濟效益最大，乃是許多經(jīng)濟學(xué)家研究的課題。雖然原型的差異甚多，我們?nèi)钥沙橄蟮丶僭O(shè)原型問題是利用m種有限資源生產(chǎn)n種商品的最佳決策。如果已知第i種商品的單位創(chuàng)利額是ci,(i=1,…,n）；生產(chǎn)單位商品i需消耗aij單位的資源j,(i=1,…,n j=1,…,m)；現(xiàn)有資源j的總量為bj，(j=1,…,m)；待決策的商品i的數(shù)量為xi，(i=1,…,n)。則可得出決策的選擇范圍是滿足下列約束條件的x=(x1,…xn)T
j=1,…,m
xi 3 0
判別決策優(yōu)劣的目標是創(chuàng)利額
我們記x=(x1,…xn)
A=(aij)n′m
C=(c1,…cn)T
b=(b1,…bn)T
就得到一個數(shù)學(xué)模型
max cTx (1-2-1)
s.t. Ax￡ b
x3 0
這個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)稱為線性規(guī)劃，與其相應(yīng)的有完整的理論與算法。
【例1.2.2】 人口的預(yù)測
人口問題困擾著許多發(fā)展中國家，經(jīng)濟學(xué)家對人口預(yù)測作過許多嘗試。我們考慮一種最簡單的情況。假設(shè)某個國家在時刻t=t0年的人口數(shù)目x(t0)=x0，由歷年統(tǒng)計加權(quán)得到平均出生率h，平均死亡率d，于是對t 3 t0可以得到一個粗糙的模型
或
其中，r = h－d是凈生殖率，由初始條件解出
利用這個模型我們可以預(yù)測這個國家未來的人口。這個簡單模型說明在外界條件不變的情況下，人中將呈指數(shù)增長。
【例1.2.3】 馬克思的生產(chǎn)模型
馬克思認為，在一定時期內(nèi)社會總產(chǎn)品的價值是由三部分構(gòu)成的：1）在此期間消耗的生產(chǎn)資料價值，即不變資本c；2）在此期間內(nèi)用于生產(chǎn)過程的勞動力價值，即可變資本v；3）被資本家剝削的剩余價值m。依據(jù)生產(chǎn)資料的性質(zhì)，馬克思把國民經(jīng)濟分為兩大部類，即生產(chǎn)生產(chǎn)資料的第一部類和生產(chǎn)消費資料的第二部類。由定義，兩部類的總價值分別為
I=c1＋v1＋m1
II=c2＋v2＋m2
總價值
TV=I＋II
馬克思指出：如果要維持簡單再生產(chǎn)，則國民經(jīng)濟總處于同一水平。這時，生產(chǎn)資料的總需要應(yīng)和第一部類的總價值相等；消費資料的需要應(yīng)和第二部類的總價值相等。于是，我們得到
c1＋c2 =I
v1＋m1＋v2＋m2 =II
我們注意到從前式可以推出后式，反之亦然。而且，都與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)
v1＋m1 =c2
等價。即第一部類的可變資本和剩余價值等于第二部類的不變資本。值得指出的是：雖然兩個數(shù)學(xué)模型不同，但可能在數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)上”等價”。
【例1.2.4】常勝的賭徒
賭場如戰(zhàn)場，有勝亦有敗。但如果在自由下注的賭場，則有常勝的可能性。假如某位不貪心的賭者依據(jù)下列決策賭搏：
1.每次上賭場的目標是贏一元錢
2.一旦贏錢立刻停賭
那么他第k次的賭注為2k-1
,總賭注: Bk = 1＋2＋22＋…＋2k-1
=2k－1
假如每次贏的概率為p，則輸?shù)母怕蕿閝=1-p。顯然，連輸k次的概率是qk。因此k次賭搏之中至少有一次贏的概率為1－qk，不論”常勝”意味勝的概率P0有多大，只要p>0且P0<1，當k充分大時，必有
1－qk > P0
換言之，如果賭徒籌措到足夠多的本錢n，則可望百戰(zhàn)百勝。模型為
n (1-2-2)
s.t. 1－qk > P0，
2k－1 ￡ n，k為正整數(shù)
不難解出
當然，這是個數(shù)學(xué)游戲，因為輸光頭的概率畢竟存在！
現(xiàn)在我們考慮數(shù)學(xué)模型的基本概念與性質(zhì)。首先給出如下定義：如果相應(yīng)于某種體系的相依關(guān)系或邏輯關(guān)系，用形式化的數(shù)學(xué)語言概括地或近似地表述成為一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，則稱這個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)為該體系的一個數(shù)學(xué)模型，記作M，稱該體系為M的原型，記作P。
由定義不難得出，以下結(jié)論：一個原型可以有不同的數(shù)學(xué)模型，模型不唯一；而一個模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)則有可能是不同原型的模型，即有多個原型相對應(yīng)，因此反之是有條件的。一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)自身必須在數(shù)學(xué)意義下協(xié)調(diào)，不能相悖，但是對刻劃同一體系的模型而言，由于假說與解釋的方式不同，我們將允許相悖。正如物理學(xué)中描述物體運動的牛頓模型
和愛因斯坦模型
在數(shù)學(xué)意義下相悖。但都成功地刻劃了物體運動的規(guī)律。
我們把欲模型化的現(xiàn)象、問題、過程、體系，乃至用某種語言表示的系統(tǒng)，統(tǒng)稱為原型，并記之為P。雖然原型應(yīng)相對于模型而存在，我們隱含假設(shè)任何事物都存在著數(shù)學(xué)模型，只是不一定令人滿意罷了。數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一個有機的整體，可分性概念是有益的。如果數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS可以分解為若干子結(jié)構(gòu)MSa，a?L，其中L是非單點指標集，則稱該數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是可分的。并記 。
下面我們舉例說明可分性。
【例1.2.5】依據(jù)凱恩斯的經(jīng)濟理論，針對封閉的宏觀經(jīng)濟體系，可建立如下模型，
M：
其中主要變量有內(nèi)生變量：Y（國民收入），C（消費），I（投資）和R（利率）；外生變量：G（政府開支）和M（貨幣供給）以及前定變量：P（價格水平）。四個方程式分別是國民收入定義式、消費需求方程式、投資需求方程式和貨幣需求方程式。其中a，b，t，e，d，k，h則為參數(shù)。不考慮派生結(jié)構(gòu)。
模型M可以分解成若干種互不相同的分結(jié)構(gòu)。例如可分成
M1：
M2：
連同假設(shè)一起考慮，M1中有4個內(nèi)生變量和一個外生變量，故知其不唯一地確定變量的值。同理M2亦然。這些分結(jié)構(gòu)可能沒有合適的經(jīng)濟背景，所以稱不上模型。對數(shù)學(xué)模型進行分解時，必須考慮假設(shè)的相應(yīng)變化及經(jīng)濟解釋。經(jīng)濟學(xué)家常把模型M置放在（Y，R）空間，從而得到十分重要的IS曲線和LM曲線，并成功地利用它們說明了許多經(jīng)濟問題。其分解如下：
IS：
LM：M=(kY－h(huán)R)P
IS曲線表示出滿足國民收入定義式，消費需求和投資需求的利率R與國民收入Y的組合形式；LM曲線表示貨幣供給等于貨幣需求時國民收入Y和利率R的變動軌跡。IS曲線和LM曲線的交點恰為數(shù)學(xué)模型M的唯一解。利用恰當?shù)姆纸?，能夠得到許多意想不到的信息。如本例中，分解M=M1∩M2似乎難有合理的經(jīng)濟解釋，但分解M=IS∩LM則是最出色的分解。然而若不分解M，則只能得到唯一的解(Y*，C*，R*)T，失去了研究各種經(jīng)濟力量如何影響均衡的機會。綜上所述，我們看到分解就是將數(shù)學(xué)模型的若干部分孤立起來，撇開廣泛的、總的聯(lián)系。同時，想到原結(jié)構(gòu)是一個整體結(jié)構(gòu)，要考察子結(jié)構(gòu)之間是如何發(fā)生聯(lián)系的。
為了便于討論，我們引入模型元的概念，如果數(shù)學(xué)模型的結(jié)構(gòu)MSa是MS的一個結(jié)構(gòu)元或模型元，細心的讀者可能注意到我們有時并沒有嚴格地區(qū)分數(shù)學(xué)模型與數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。我們約定今后將在承認差異下一視同仁。
模型元并不一定是最基本的構(gòu)模元素，只是具有相對獨立性的”小”模型罷了?；镜臉?gòu)模元素有以下五種：
1. 數(shù)據(jù)：與原型有關(guān)的數(shù)字、圖形、以及可定量化的其他信息。
2. 變量：假定屬于已知值域的任何值。變量有獨立與相關(guān)、內(nèi)生與外生、先決與滯后等區(qū)別。
3. 參數(shù)：在特定的模型中只能假定取一固定數(shù)值的量。有固定與可變、可調(diào)與不可調(diào)之分。
4. 數(shù)學(xué)式：用以聯(lián)系變量、參量的相依序關(guān)系的符號，如”=”、”<“、”3″、”￡”、” “等等。
5. 邏輯表述：關(guān)于模型結(jié)構(gòu)，因果關(guān)系的表述，如”?”、”ì”、”T”，等等。
依照上述分析方式，可以定義原型的可分性，從而引出子原型，原型元等概念。勿需諱言，可分與否是相對的，有主觀性。一般說來，當原型或子原型的內(nèi)涵與外延已十分清楚時，可以認為其已不可分了。
利用一個基本的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，通過改變假設(shè)條件或數(shù)學(xué)推導(dǎo)可得出新的數(shù)學(xué)模型。有時新結(jié)構(gòu)之間并不矛盾，有時卻相悖。我們試看一例。
【例1.2.6】套匯均衡
眾所周知，在國際金融市場上匯率是瞬息萬變的。如果以有n國貨幣的金融市場為原型，則匯率有 種。然而若將貨幣間的相互影響和單向匯率考慮在內(nèi)，則問題將變得十分復(fù)雜。我們把多國間的問題分解成兩國間的問題，則大大地簡化了問題。關(guān)于匯率變化的機理，經(jīng)濟學(xué)家認為套匯者的推波助瀾是關(guān)鍵的。我們假設(shè)：A國和B國的利率分別為rA和rB，現(xiàn)期匯率為St（A幣/B幣），期貨匯率為FT，（T>t）。套匯者對其行為有一定的估價，先從A國貸款a（單位A幣），并按St換成B國貨幣存入B國銀行。到T時刻連本帶利一起取出，按約定的匯率FT兌成A國貨幣，那么以A幣為標準單位的凈收益
M1：
如果p<0，反其道而行之，得到
M2：
其中b是向B國銀行所貸的款額，這時必有p>0。假設(shè)M1所給的凈收益是正的，則有一等價模型
M3：
在此模型成立的情況下，套匯者一定有利可圖。當眾多的套匯者都這樣干時，會引起rA上升和rB以及FT的下降，綜合結(jié)果是使p趨于零。于是，我們得到均衡模型
M4：
M4說明了匯率變化的中心趨勢，F(xiàn)T實際上是ST的預(yù)測值。值得注意的是M3是由M1引出的，M4亦然，但M3和M4不能同時成立，它們不相容的原因是加了不同的假設(shè)條件。
我們定義兩個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是不相容的，如果在數(shù)學(xué)意義下兩個結(jié)構(gòu)不能同時成立。例如由于不存在這樣的ST，F(xiàn)T，rA和rB使M3和M4同時成立，故稱M3和M4不相容。我們記之為M3∩M4=?。
由于模型間有一定的邏輯關(guān)系，我們引進序的概念：如果由一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS￠可以得出另一個數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)MS＂，則稱M＇和M＂之間存在著序，記作MS＇f MS＂（讀作MS＇導(dǎo)MS＂）。所謂序”得出”包括適當?shù)卦黾蛹僭O(shè)條件和純形式的推導(dǎo)。如果依據(jù)純粹的數(shù)學(xué)理論及方法，從MS＇推導(dǎo)MS＂，則稱MS＇和MS＂之間存在真序，記作MS＇ffMS＂（讀作MS＇真導(dǎo)MS＂）。根據(jù)模型化的觀點，不是同一原型的模型之間無所謂序關(guān)系。今后談到模型間的序關(guān)系時，均指同原模型。由定義我們不難證明兩個命題：
命題①若M＇f M＂，則必有M＇∩M＂≠?
命題②若M＇ff M＂，則必有M＇∩M＂≠?
這些證明留給讀者。
既然有序的概念，很自然地引出數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)的等價關(guān)系。如果兩個數(shù)學(xué)模型M＇和M＂滿足序關(guān)系，且M＇f M＂，M＂fM＇則稱M＇和M＂是等類的，記作M＇∽M＂。如果M＇ff M＂且M＂ff M＇，則稱M＇和M＂等價。記作Ｍ＇∽ Ｍ＂。顯然，等價必等類，反之不然。關(guān)于導(dǎo)序的性質(zhì)，不難由定義推出。
1. 對稱性：若M＇f M＂，則M＂p M＇；
2. 傳遞性：若M＇f M＂，M＂fM＂＇，則必有M＇fM＂＇；
3. 反身性：若M＇f M＂，M＂p M＇，則必有M＇∽ M＂。
一般來說，導(dǎo)序具有的性質(zhì)，真導(dǎo)序也具有，反之則不一定。前面提到通過增減條件或推導(dǎo)可以得到不同的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，但并不一定稱得上新的數(shù)學(xué)模型。抽象地看，從舊的數(shù)學(xué)模型到新的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)是一過程，經(jīng)過了一個映射。正如我們可以把從原型r到模型M的過程看成一種映射一樣。對于數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)而言，封閉是一個嚴格的概念；但對數(shù)學(xué)模型而言并不十分嚴謹。我們姑且這樣定義：如果模型M在一映射Γ下所得到的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)仍是一個同原模型，則稱該模型對映射P是封閉的?！纠?.2.7】可以部分地說明封閉這個概念。
【例1.2.7】財務(wù)分析
假設(shè)某公司經(jīng)銷一種商品的數(shù)量為x，單位售價p元，經(jīng)估算固定成本為FC元，單位可變動成本為UVC。于是，由定義有
M1： SR=px
M2： C=FC＋UVC·x
M1表示銷售收入，M2表示總成本。對C微分得到邊際成本模型，
M3： MC=UVC
將M1和M2視為一個數(shù)學(xué)模型，則利潤I的模型為
M4： I=（P－UVC）·x－FC
可以看成M1和M2經(jīng)過減運算得到的。利潤率IR則是由M4和M2的商運算得到的，
M5：
根據(jù)模型化原理，我們可以這樣認為：M2對一階微分是封閉的，但對二階微分不封閉；數(shù)學(xué)模型M1∩M2對特定的商運算也是封閉的。
迄今為止，我們只是討論了模型的一些基本概念和性質(zhì)，對于這些概念的系統(tǒng)討論和研究將在第二章中進
第二章 數(shù)學(xué)模型化
從第一章的討論我們知道，數(shù)學(xué)模型是反映原型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)，而本章討論的數(shù)學(xué)模型化則指提出、設(shè)計、建立、求解、論證及使用數(shù)學(xué)模型的整個過程。本章主要論述與模型化有關(guān)的數(shù)量化度量、經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型的分類、模型和模型化應(yīng)用的條件和范圍、模型和模型化選擇的標準等問題，最后對模型化過程進行設(shè)計與討論。
§2.1 數(shù)量化和量綱分析
§2.1.1 數(shù)量化的度量問題
經(jīng)濟信息數(shù)量化是構(gòu)造模型的前提，經(jīng)濟原型總是具有質(zhì)與量兩方面的信息，模型所需的信息是二者的結(jié)合，即信息不僅包含經(jīng)濟概念而且有一種數(shù)量的度量。度量是定性與定量結(jié)合的過程。量綱是帶有質(zhì)的規(guī)定性的數(shù)量度量，因此，在模型化過程中是值得重視的。從理論上看，數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)中的各種量是沒有量綱的，但作為一個經(jīng)濟模型，模型的輸入和輸出的信息有量綱的問題，這是客觀存在。事實上，沒有量綱這個標準，則使各經(jīng)濟變量之間失去可比性。在商品經(jīng)濟存在的條件下，各種實物往往需要用貨幣量綱來反映價值，生產(chǎn)、流通、消費和分配等因素的聯(lián)系需用貨幣量綱來體現(xiàn)，因此，在討論問題時，往往把量綱統(tǒng)一于某種貨幣單位，從而，使不同質(zhì)的量得到統(tǒng)一的度量。但實際中遇到的原型不盡相同，而且并不是什么都可以用貨幣度量的。因此，在數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造和推導(dǎo)過程中要注意量綱是否合理，否則可能失去原型背景，即不再是同原模型。
不論是構(gòu)造什么樣的模型，總是要選擇一些基本量綱或原始量綱，經(jīng)過模型構(gòu)造和求解后，往往生出一些新的量綱，我們稱之為導(dǎo)出量綱。例如，在描述一段時期內(nèi)的平均收入時，我們把單位時間和單位貨幣稱為基本量綱，而把（單位貨幣/單位時間）稱為導(dǎo)出量綱。我們定義一個量綱是獨立量綱，如果它不能由其它量所導(dǎo)出，如經(jīng)濟上常用的貨幣單位、實物單位、和計量單位等等。從數(shù)學(xué)的觀點看，以什么作為量綱并不重要，關(guān)鍵是在構(gòu)造過程中量綱必須始終是諧調(diào)的、規(guī)范的。只有這樣才能保證所得的模型與結(jié)果不僅有數(shù)學(xué)意義，而且有經(jīng)濟解釋。
無量綱的經(jīng)濟量（指標）在經(jīng)濟是經(jīng)常遇到。諸如比例數(shù)、比率和指數(shù)等相對量，就可能是無量綱的。另一種較特殊的量是只起記錄功能或排序功能的”數(shù)量”，例如，把盈利記為1，虧本記為-1，盈虧平衡記為0。這種量與有量綱的經(jīng)濟量有質(zhì)的區(qū)別，應(yīng)注意其數(shù)學(xué)處理的條件和應(yīng)用范圍。
模型化過程中常需直接利用已有的統(tǒng)計指標，這時更需注意量綱問題。按我國的慣例統(tǒng)計指標分為數(shù)量指標和質(zhì)量指標。數(shù)量指標反映企業(yè)、部門或整個國民經(jīng)濟工作的直接結(jié)果，它是刻劃經(jīng)濟規(guī)模的計劃指標。質(zhì)量指標反映生產(chǎn)資源和生產(chǎn)因素的利用效果，它是描述經(jīng)濟活動的統(tǒng)計性指標。質(zhì)量指標分技術(shù)經(jīng)濟指標和經(jīng)濟質(zhì)量指標，前者表示固定資產(chǎn)和流動資產(chǎn)的利用效果，產(chǎn)品質(zhì)量及各產(chǎn)品生產(chǎn)間的比例關(guān)系，它是編制計劃的依據(jù)，后者反映經(jīng)濟工作的質(zhì)量與管理水平。與指標密切相關(guān)的因素是統(tǒng)計方式，這些都是收集信息時應(yīng)當注意的。鑒于我國的經(jīng)濟指標體系與西方不盡一致，在考慮借鑒西方模型時尤應(yīng)慎重。
§2.1.2 量綱分析
前一節(jié)中已經(jīng)提到過量綱等概念，我們將進一步深化它們。模型化常會涉及到可度量的信息，如經(jīng)濟中的國民收入、產(chǎn)出、消費額等，既是經(jīng)濟概念，又是可度量的。度量單位是帶有質(zhì)的規(guī)定性的標準。在這種標準下，信息傳遞被簡化了。例如兩個量不經(jīng)實際比較，就知道孰多孰寡。物理學(xué)之所以成為嚴謹?shù)目茖W(xué)，得益于數(shù)學(xué)模型的利用。物理學(xué)的典型方法是把物理原型用數(shù)學(xué)模型表現(xiàn)出來，通過對輸入和輸出的量的量綱比較，說明了物理學(xué)規(guī)律。量綱分析（Dimensional Analysis）就是物理學(xué)中一項模型化技術(shù)。（我們將沿用物理學(xué)中的名稱予以介紹）
眾所周知，一切物理量可以由若干基本單位推導(dǎo)出來?；締挝坏捏w系在物理上稱為單位制。例如力學(xué)單位制可由長度、質(zhì)量、時間為基本單位的絕對單位制(System of Absolute Units）推導(dǎo)出來。除基本單位之外，任何其他物理單位均稱導(dǎo)出單位（Derived Unit）。如果q，j，y，…為基本單位，a為導(dǎo)出單位，根據(jù)定義或定律導(dǎo)出單位a可以表示成
a = c q jm yn…
的形式，其中c， ，m，n，…是常數(shù)。則稱指數(shù) ，m，n，…為a的量綱，量綱公式記作
[a ]=[q jm yn …] 其中”[ ]”讀作”…的量綱”。對于一般的模型化問題，無法建立適用于一切原型的單位制，但是對具體的模型化問題，的確可以提供一個”單位制”。我們?nèi)苑Q被推導(dǎo)出的單位為導(dǎo)出單位，沿用一切物理學(xué)的名稱。
量綱分析方法可以從單一的前提條件，對某一現(xiàn)象推斷得出有價值的信息，而該現(xiàn)象可以由某些變量中的一個有量綱的、恰當?shù)姆匠虂砻枋?。量綱分析可用于設(shè)計比例模型，處理如何按比例調(diào)節(jié)系統(tǒng)的參數(shù)，使之能根據(jù)模型預(yù)測未來。量綱分析還可以使變量按有意義的方式進行組合，從而減少變量的數(shù)目對有關(guān)數(shù)據(jù)的需求。量綱分析的主要依據(jù)是白金漢(Buckingham)的P定理以及相似定律（Law of Similitude）。我們首先介紹P定理。
P定理：假設(shè)有n個物理量a1，a2，…，an和m個基本量的量綱單位b1，b2，…，bm，如果關(guān)系式
f(a1，…，an) = 0
的成立與基本量的單位無關(guān)，則總可以轉(zhuǎn)化成為
F(P1，…，Pn－m) = 0
其中P1，…，Pn－m是無量綱量群，形式為
這里F為某一函數(shù)。
我們回想一下代數(shù)學(xué)中的結(jié)論：線性空間中的一組基可以將任一向量線性表出；任一組向量亦可選出基向量。P定理的使用方法與基的擴充方法相似，首先從導(dǎo)出量a1，…，an中選擇能包含全部基本量綱的m個導(dǎo)出量。不妨設(shè)a1，…，am的量綱中含有b1，…，bm，則可用剩下的n－m個導(dǎo)出量構(gòu)造無量綱量群。我們設(shè)
，i=1,…n-m
其中hij是待定參數(shù)i=1,…n-m，j=1,…,m。由于a1，…，an的量綱單位是從b1，…，bm導(dǎo)出，故有
，j=1,…,n
其ajk是aj的量綱，k=1,…,m。利用前式可得
因Pi是無量綱的，故令
，k=1,…,m
如此得到的m(n-m)個方程恰好確定所有的待定系數(shù)hij，i=1,…n-m，j=1,…,m。這個方法不僅給出了擴充的步驟，而且給出了一個構(gòu)造性證明。
【例2.2.1】萬有引力模型
牛頓的萬有引力定律告訴我們：兩個物體之間的引力與它們的質(zhì)量成正比，與它們之間的距離成反比。模型為
式中F是萬有引力，G是萬有引力常數(shù)，m1和m2分別是兩物體的質(zhì)量，r是兩物體間的距離。假設(shè)基本的物理量是質(zhì)量M，長度L和時間T，我們來分析一下萬有引力模型的量綱。顯然，
[F]=MLT-2
[m1]=[m2]=M
[r]=L
[G]=M-1 L3 T-2
設(shè)a1 =F，a2 =m1，a3 =m2，a4 =r，a5 =G則系數(shù)矩陣為
選擇a1，a2，a4為基，則
于是我們得到
h11＋h12＋1=0
h11 ＋h13 =0
－2 h11 =0
和
h21＋h22－1=0
h21＋h23＋3=0
－2 h21－2=0
從中解出
無量綱量群
由P定理可知，必可轉(zhuǎn)化為
F(P1，P2)=0
事實上，稍加觀察就有
P1 P2 －1=0
這是萬有引力模型。請注意，如果我們考慮的體系中有這五個物理量，則可以純形式地導(dǎo)出萬有引力模型。當然，難點在于把G考慮在內(nèi)的物理直覺。
【例2.2.2】流體實驗
我們這次從經(jīng)典的實例出發(fā)，討論量綱分析的應(yīng)用。原型問題是幾何形狀相似的物體在不可壓縮粘性流體中的阻力問題。這種阻力是由于流體沿物體表面流動而產(chǎn)生的。我們記f為阻力，物體相對流體的速度為V，流體的密度為r，特征長度為ｌ，粘滯系數(shù)為m（注：m是粘滯摩擦阻力和該物體的速度梯度之比例系數(shù)）。仍以絕對單位制為基本單位制，則五個物理量，量綱單位分別是MLT-2，LT-1，ML-3，L和ML-1T-1。與例2.2.1相仿，可以得到
考察其物理意義可知：P1表示粘滯力與慣性力之比；P2表示阻力對流體在該物體正面投影面積上的作用力之比。 稱為雷諾數(shù)（Reynolds Number），層流時其值較小，湍流時其值較大。如果我們的原型是湍流中的阻力，則應(yīng)對R足夠大的情況設(shè)計實驗和分析。這樣一來試驗變得更為合理和有效了。
【例2.2.2】中 就是一個數(shù)學(xué)模型！我們希望了解阻力如何因速度變化而變化時，注意到另外三個物理量如何變化，則需要相應(yīng)地做許多次實驗。量綱分析法使我們科學(xué)地減少了實驗次數(shù)和測量數(shù)。但是，量綱分析并不是一種機械的方法，變量的選擇依賴于洞察力和判斷力，因為一旦包含無關(guān)的量或多刪了必需的量就會導(dǎo)致謬誤。
綜上所述，與其說量綱分析是一種工具，不如說是一個過程。首先要對原型中有關(guān)變量和常數(shù)進行識別，選擇系統(tǒng)的主要候選變量及其量綱；其次是運用某些方法，如擴充法、P定理等解出無量綱量群；再次是對無量綱量群及其乘積和比率進行原型背景的識別與推斷；最后建立成數(shù)學(xué)模型以擬合原型，達到對原型體系的認識，簡化實驗設(shè)計，數(shù)據(jù)收集和數(shù)值計算的目的。
相似定律是許多物理實驗的依據(jù)。該定律認為：兩個同類的物理系統(tǒng)的Pi值如果相同，則它們的物理狀態(tài)亦相似。因此Pi值相同的模型實驗的結(jié)果可以用來推測原型。由于物理量成立的關(guān)系式是對基本（運動）方程進行數(shù)學(xué)運算得到的，所以關(guān)系式中出現(xiàn)的數(shù)值系數(shù)的數(shù)量級多為1。因此，相反地，在幾個量間進行量綱分析時，如果根據(jù)實驗結(jié)果所決定的系數(shù)值不是過大或過小，則可斷定在這幾個量之間可能存在相關(guān)性。
最后強調(diào)幾點：
1. 量綱分析的基本方法沒有固定的形式與結(jié)構(gòu)；
2. 變量和常數(shù)的正確選擇常常依賴于建模者良好的直覺；
3. 假說是十分必要的，不可太機械地利用量綱分析法；
4. P定理有雙重含義：其一是存在一組無量綱量群，其二是如果主要變量或量綱數(shù)為m，導(dǎo)出變量數(shù)為n，則其必要的獨立無量綱量群的數(shù)目為n-m；
5. 量綱和單位之間有差別，我們要保持單位的相容性和量綱的一致性；
6. 無量綱量群是組建模型的磚石。
§2.2 數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)應(yīng)用條件及評價準則
數(shù)學(xué)模型是抽象模型中應(yīng)用最為廣泛的一類，它除具有一般模型的性能外，還有其獨特的性質(zhì)與功能，這就是數(shù)學(xué)模型日益滲透各個領(lǐng)域的原因。數(shù)學(xué)模型是借助抽象的數(shù)學(xué)語言來表述、分析和研究原型的數(shù)量的關(guān)系及量變規(guī)律的。由于數(shù)學(xué)本身的高度抽象性使數(shù)學(xué)模型不可避免地具有一定的抽象性，數(shù)學(xué)模型可以簡化復(fù)雜的問題，提取關(guān)鍵的性質(zhì)，使人們看到原型的本質(zhì)，另一方面，數(shù)學(xué)模型有其具體的、確定的客觀原型，它是原型的反映，故數(shù)學(xué)模型又有一定的現(xiàn)實性，這兩重性使數(shù)學(xué)模型得以廣泛應(yīng)用于自然科學(xué)和社會科學(xué)。眾所周知，數(shù)學(xué)是一個自封閉的、嚴謹?shù)倪壿嬒到y(tǒng)，因此受制約的數(shù)學(xué)模型必然具有嚴格的邏輯關(guān)系。如果數(shù)學(xué)模型是正確的，那么，由其推導(dǎo)出的結(jié)果也必然是正確的，這是其它模型所不能比擬的。
數(shù)學(xué)模型與其它模型的不同之處還在于它有堅實的理論基礎(chǔ)和有效的實現(xiàn)手段，理論基礎(chǔ)是指數(shù)學(xué)理論的支持，從最基本的概念、定義或公理出發(fā)，經(jīng)過嚴格推理建立起來的數(shù)學(xué)公理化理論系統(tǒng)，有許多可利用的定理、方法和結(jié)論。實現(xiàn)手段是指計算機的普及為數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用奠定的物質(zhì)基礎(chǔ)。如果說，運用數(shù)學(xué)模型是一種科學(xué)成功的標志，那么，這種科學(xué)的完善的方式就是運用數(shù)學(xué)模型。
由于現(xiàn)實世界的任何事物都具有一定的數(shù)量關(guān)系和空間形式，因此，原則上說，數(shù)學(xué)模型可以研究任何原型。當然，數(shù)學(xué)模型的應(yīng)用，也受一定條件的制約，有其應(yīng)用的范圍。Rosenblueth和Wiene (1945)曾對物理模型的實用性給出充分必要條件：
1. 在不熟悉或不太熟悉的領(lǐng)域（原型”空間”）里的一個現(xiàn)象必須被（更）熟悉的領(lǐng)域（模型”空間”）里的一個現(xiàn)象所代替。
2. 模型化實驗必須在比原型實驗更有利的條件（包括費用、時間等）下進行。
這兩個條件對于數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟中的應(yīng)用也是有啟發(fā)的。
數(shù)學(xué)模型在經(jīng)濟中的應(yīng)用是很廣的，從應(yīng)用的目的歸納大致包括四個方面：
1. 觀察和預(yù)測經(jīng)濟事物的機理變化和發(fā)展趨勢；
2. 規(guī)劃和設(shè)計經(jīng)濟的現(xiàn)實與未來；
3. 分析和控制經(jīng)濟的運動與規(guī)模；
4. 研究和解釋經(jīng)濟現(xiàn)象及規(guī)律。
具體地說，數(shù)學(xué)模型是為了增加經(jīng)濟效益，降低經(jīng)濟消耗，合理地利用現(xiàn)有的資源等等。經(jīng)濟上需用模型的原因還在于人們往往不能或無法直接駕馭經(jīng)濟現(xiàn)實，所以借助數(shù)學(xué)模型是必然的。
數(shù)學(xué)模型可以用于研究許多經(jīng)濟問題，但這并不意味數(shù)學(xué)模型可無條件地應(yīng)用，應(yīng)用數(shù)學(xué)模型的必要條件是：
（1）經(jīng)濟原形(EP)可以映射到數(shù)學(xué)”空間”
此條件包括：EP的有關(guān)概念定義明確；EP的經(jīng)濟假說具有一定的科學(xué)性；在數(shù)學(xué)”空間”里存在著與假說的數(shù)量關(guān)系、邏輯關(guān)系或混合關(guān)系”同構(gòu)”的數(shù)學(xué)關(guān)系式；可以通過必要的推導(dǎo)或證明得出有意義的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)；所需要的EP信息必須能夠收悉，并可處理和轉(zhuǎn)化成為模型的參數(shù)。
（2）數(shù)學(xué)模型在數(shù)學(xué)”空間”中可以研究
此條件包括：研究數(shù)學(xué)模型的數(shù)學(xué)理論與方法是完備的；數(shù)學(xué)模型必須滿足一定的數(shù)學(xué)性質(zhì)（如可解性、穩(wěn)定性、可計算性等等）；結(jié)果必須能從數(shù)學(xué)上驗證其正確與否。必要時，可以在計算機上實現(xiàn)。
（3）數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果可以映射回經(jīng)濟”空間”
此條件包括：數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果有一定的經(jīng)濟解釋，可以驗證經(jīng)濟假說或可以用經(jīng)濟實踐檢驗。即數(shù)學(xué)模型及其結(jié)果可以用于指導(dǎo)經(jīng)濟工作。
如果上述三個條件不能滿足時，不宜使用數(shù)學(xué)模型。
對經(jīng)濟原型的多種的希望使評價模型的準則也是多種多樣的，人們總是希望在眾多的”可行的”模型之中尋找一個最佳的模型，一般說來，合格的數(shù)學(xué)模型應(yīng)當具有下列性質(zhì)：
（1）真實性或現(xiàn)實性：如果一個模型客觀地反映了原型或子原型的量與量的關(guān)系，則稱此模型具有真實性或現(xiàn)實性。
（2）一般性或普遍性：如果模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)能夠用于許多其它原型，則稱此模型為異原模型，具有一般性或普遍性。
（3）簡潔性：如果模型能突出原型的主要矛盾和特征，而且忽略、舍棄次要的矛盾和特征，則稱模型具有簡潔性。
（4）精確性：如果模型能夠在一定程度上，比較準確地刻劃原型數(shù)量方面的特征，則稱模型具有精確性。
（5）有效性：如果模型可以多方面地從不同的角度刻劃經(jīng)濟原型或可以派生出較多的信息，而且具有多種功能，則稱模型具有有效性。
這些準則并非一定之規(guī)，使用時可以權(quán)衡利弊，有所取舍。
模型化與模型是密切聯(lián)系的，除模型化所得到的模型有上述性質(zhì)外，模型化本身應(yīng)滿足以下的要求：
1. 可行性：可行性包括：信息可采集、可轉(zhuǎn)化、模型可構(gòu)造、算法可實現(xiàn)、假說可驗證、結(jié)果可解釋等等。
2. 經(jīng)濟性：模型化的過程中有一定的消耗，其中包括調(diào)查情況、收集資料、處理信息、構(gòu)造模型、計算、分析、驗證等等過程中的費用。模型化的收益與費用應(yīng)當相稱，經(jīng)濟性要求對模型化的規(guī)模和復(fù)雜程度加以控制。
3. 實用性：經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型化貴在有實用價值，這里包括模型化過程所需的時間短、經(jīng)濟實踐中使用方便、可靠。
值得指出，模型化的要求對模型的選取也有一定的參考價值。
§2.3 數(shù)學(xué)模型的分類
下面討論一下數(shù)學(xué)模型的分類問題，這對于正確地構(gòu)造模型和使用模型都是有益的。下面敘述幾種分類方式。
（一）按模型的數(shù)學(xué)性質(zhì)分類
按數(shù)學(xué)模型的性狀大致可分為三類。其一為確定性模型，其原型具有相對地確定性或必然性，原型的各種關(guān)系相對穩(wěn)定明確，模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)多為各種方程式，點集映射關(guān)系式和圖式。其二為隨機性模型，其原型具有隨機性或偶然性，原型的某些關(guān)系是波動的和不肯定的。模型的數(shù)學(xué)背景理論是概率論、隨機過程、數(shù)理統(tǒng)計、多元分析、和鞅論等等。其三是模糊性模型，其原型及其關(guān)系具有模糊性或不分明，其處理方式是Fuzzy子集理論、信度理論、證據(jù)理論和Fuzzy邏輯等等。
按數(shù)學(xué)模型的各種變量、參量和函數(shù)結(jié)構(gòu)的變動情況，可以把模型分為連續(xù)型模型，非連續(xù)性模型和離散性模型。連續(xù)性模型對于任何量或關(guān)系的微小攝動是相對穩(wěn)定的；非連續(xù)性模型對某些量或關(guān)系的變化是間斷的，有跳躍的；離散性模型則多指其變量是可列點列構(gòu)成的。
根據(jù)模型的參量可以分為固定參數(shù)(fixed-parameter)模型和自適應(yīng)參數(shù)(adaptive-parameter)模型，前者在模型化過程中所涉及的參數(shù)只需給定一次，而后者則隨著原型的變化而進行必要的調(diào)整，這時參數(shù)往往屬于一個參數(shù)集合或空間。
（二）按模型與時間的關(guān)系分類：
亦可分為三類。首先，若模型的行為隨時間而變化而且時間是獨立的變量，則稱為動態(tài)模型，其原型和時間關(guān)系密切（有時也稱隨階段變化的模型為動態(tài)模型）。其次，若模型的行為不隨時間而變化（時間可以是參量），則稱之為穩(wěn)態(tài)模型。其原型對時間的變化相對穩(wěn)定。另外，若一非穩(wěn)態(tài)的原型用一系列靜態(tài)模型來表示，則稱此系列模型為擬穩(wěn)態(tài)模型。其原型是動態(tài)的，而這一系列模型中每一個模型是穩(wěn)態(tài)的。如果細分，動態(tài)模型還可分瞬時模型(instantaneous)和記憶模型(memory)。前者在任意給定的瞬刻的行為只取決于此刻的環(huán)境或因素；而后者在任意給定的瞬刻的性態(tài)可能依賴此刻之前的一段時間的歷史環(huán)境或因素。記憶模型還可以分為兩種：其一，獨立于此刻自身的行為而此刻之前的一段固定的有限時間稱為定時距(time invariant)模型，其二，在現(xiàn)在任一瞬間的記憶范圍，直到過去的一個固定的瞬間稱為變時距模型，這引出所謂因果性分類，即若模型在一瞬間的行為取決于過去和現(xiàn)在，則為因果模型，若其還取決于未來則為非因果模型。此外，動態(tài)模型還可分為周期性模型和非周期性模型，隨時間總是作為節(jié)奏有規(guī)律的變化的模型稱為周期性模型，否則稱為非周期性模型。應(yīng)當指出，按步驟、階段而變化（與時間長度無關(guān)）的模型有時也稱為動態(tài)模型。在經(jīng)濟中動態(tài)模型是一類應(yīng)用廣泛的模型，尤其在宏觀方面。
（三）按模型的經(jīng)濟背景分類
按原型背景分類，可以分為宇觀經(jīng)濟模型、宏觀經(jīng)濟模型、中觀經(jīng)濟模型和微觀經(jīng)濟模型。它們的原型背景分別是世界、國家、地區(qū)和企業(yè)（這種分類尚有異議）。
按學(xué)科分類大致有運籌學(xué)模型、經(jīng)濟控制論模型、計量經(jīng)濟學(xué)模型和數(shù)理經(jīng)濟學(xué)模型。這模型都有其獨特的數(shù)學(xué)理論和方法，而且可以再細分。
按模型化問題的類型分類，可以分為模擬模型、統(tǒng)計模型、優(yōu)化模型和結(jié)構(gòu)模型。模擬模型和統(tǒng)計模型重在科學(xué)地觀察、預(yù)測；優(yōu)化模型重在配置、統(tǒng)籌和最佳控制；結(jié)構(gòu)模型重在對原型的邏輯化、分析、推理和解釋假說。
（四）按模型的數(shù)學(xué)機理分類
大致可分為：
①數(shù)學(xué)規(guī)劃類模型：包括線性規(guī)劃模型、非線性規(guī)劃模型和動態(tài)規(guī)劃模型等等；
②統(tǒng)計回歸類模型：包括時間序列模型、多元分析模型等等；
（五）按模型化目的分類
大致可分為：觀察和解釋模型、計劃和設(shè)計模型、計劃和設(shè)計的優(yōu)化模型、機理過程分析模型、控制模型和研究模型。
此外，還有一些其它的分類方式，而且分類不是絕對的。但是，識別模型的類別無論對構(gòu)造模型還是使用模型都是十分必要的。
§2.4 模型化過程
許多人曾給出過數(shù)學(xué)模型化的步驟，但很少有人詳細地說明這個過程。本節(jié)試圖詳盡地闡述模型化程序，給讀者一個較清楚的輪廓。我們首先給出模型化流程圖。
模型化流程圖 圖2.1
§2.4.1 模型化方向的表述和經(jīng)濟原型的機理分析
一、模型化方向的表述
模型化過程始于對模型化方向的表述，當你懷著通過模型化研究原型的愿望，進入模型化過程，起初的模型化設(shè)想可能是模糊的，不完整的，隨著模型化的深入和反復(fù)，不斷地修正、調(diào)整，模型化的方向就會逐漸明確。在此階段，應(yīng)盡可能地表述整個模型化過程和注意模型化的可行性、經(jīng)濟性和實用性。可四個方面來表述：
（1）表述模型化的目的
包括模型化的動機和模型的用途等等，不同的目的決定著模型化不同的方向，如用于理論研究和實際應(yīng)用的模型化會有很大的區(qū)別，由此引出模型的性質(zhì)、類型、評價準則等一系列的區(qū)別，它是模型化沿正確方向進行的必要條件。
（2）表述對模型的期望
表述包括對模型解決問題的程度、范圍以及模型性質(zhì)的表述，它是模型化目的的深化。
（3）表述經(jīng)濟原型的輪廓
表述包括原型的橫向與縱向，原型的內(nèi)涵與外延，原型的內(nèi)部、邊界和外界等主面的表述，它是進一步明確原型定義的前題。
（4）表述可行的模型”空間”
表述主要指建模型者所熟悉的模型的類型，雖然我們尚不知確定何種模型，但通過掌握已知的條件成為可行的模型類型，這時類比分析和考慮異原同模往往是有益的。當然將來構(gòu)造出的模型可能并不在第一次列出的候選之列，模型化過程是一個反饋型的創(chuàng)造性過程。
上述四方面的表述不是一次完成的，在模型化過程中，可以修正、補充或簡化，它們是調(diào)查和分析原型的前題。
二、經(jīng)濟原型的機理分析
經(jīng)濟活動通過抽象和提煉而形成了經(jīng)濟問題，它和客觀經(jīng)濟現(xiàn)象有所不同。如果我們以一個經(jīng)濟問題為原型，那么其經(jīng)濟背景就是原型的原型。具體原型具體分析是模型化的靈魂，對原型的機理分析的方式可以是多種多樣的，我們在此強調(diào)的是以定性為主，定量為輔的原則，采用將對象化整為零、把復(fù)雜事物分解為若干要素，對局部或要素進行研究和認識的一種手段，一般說來，原型機理分析包括以下三個步驟：
（1）分析原型的外部及邊界的機理
其中包括分析原型外部和邊界的狀況，它們中哪些因素對原型的存在和發(fā)展的影響較大，它們是怎樣發(fā)生作用的等等。
（2）分析原型的內(nèi)部機理
其中包括分析原型的可分性，子原型的結(jié)構(gòu)和相互依存關(guān)系，原型元的特性、作用、存在和變異的條件等等。
（3）綜合分析
綜合分析包括對原型的內(nèi)部、外部和邊界的相依關(guān)系，原型存在和消亡的條件、發(fā)展和變化的形式和趨勢，以及原型的本質(zhì)與特征和遵從的規(guī)律等方向的分析，它是我們進行簡化和抽象的關(guān)鍵。
分析使經(jīng)濟原型的各種屬性和本質(zhì)清晰地呈現(xiàn)在我們的面前，而綜合則把經(jīng)濟原型的各個部分、側(cè)面、因素統(tǒng)一起來加以考慮。
綜合是建立于分析的基礎(chǔ)之上，運用正確的社會經(jīng)濟科學(xué)理論和概念，對原型的各個子原型和各種要素的理解統(tǒng)一為對原型的整體認識。這種認識將引導(dǎo)人們對原型進行合理的抽象和作出科學(xué)的假說。
§2.4.2 模型化假說和模型的構(gòu)造
一、模型化假說
假說是自然科學(xué)和社會科學(xué)發(fā)展的描述形式，是通向客觀真理的必由之路，它在模型化過程中也是最為關(guān)鍵的一步。嚴格地說，模型化假說是由經(jīng)濟假說到數(shù)學(xué)假設(shè)的過程。
所謂經(jīng)濟假說指依據(jù)客觀經(jīng)濟事實和普遍規(guī)律，結(jié)合一定的經(jīng)濟概念、原理和科學(xué)知識，對于經(jīng)濟原型及其本質(zhì)和規(guī)律所作的推斷或解釋，由于社會經(jīng)濟的機制復(fù)雜，因果關(guān)系不甚分明，假說是經(jīng)濟研究中常用的方式，如西方的各種經(jīng)濟學(xué)流派的理論實為不同的假說，經(jīng)實踐檢驗是正確的假說，就形成了理論，作為經(jīng)濟假說往往有三個性質(zhì)：
一、似然性。人們常常感到假說與人們的直觀的想象差異不大，但都不能斷定其真?zhèn)危?二、推斷性。由于造成一個社會經(jīng)濟現(xiàn)象產(chǎn)生的原因很多，假說往往是憑著構(gòu)模者的推測或判斷，找出在冥冥中牽引的魁首；
三、簡明性。假說不再是原型本身，它簡化了原型的復(fù)雜程度，抽象出最本質(zhì)的東西，對原型的結(jié)構(gòu)，趨勢和規(guī)律做出了較明確的規(guī)定。
關(guān)于經(jīng)濟假說的范圍大致應(yīng)有兩方面：
（1）對原型有關(guān)的經(jīng)濟概念的假說，一般說來，一個經(jīng)濟概念往往有多種解釋，這與模型化不利，因此，在假說中應(yīng)明確一切有關(guān)的經(jīng)濟概念前后一致，以統(tǒng)一口徑。此外，假說時，要注意盡量使用量綱或可定量化的經(jīng)濟概念。
（2）對原型的經(jīng)濟規(guī)律的假說，由于原型及原型中子原型和原型元的邏輯關(guān)系和變異形式可能很繁瑣，所以必須選擇其關(guān)鍵的邏輯關(guān)系，普遍性的變異形式加以假說，排除一切不明確的或小概率的情況，假說原型在一定的條件下，遵從某種規(guī)律。
在經(jīng)濟假說中應(yīng)注意承上啟下，考慮經(jīng)濟假說的合理性。所謂合理性包括：假說中有關(guān)的信息是否可以獲得，是否可靠，能否定量化；經(jīng)濟假說是否有適當?shù)囊罁?jù)，能否檢驗，是否符合原型的客觀背景，經(jīng)濟假說是否為數(shù)學(xué)假設(shè)奠定了足夠堅實的研究基礎(chǔ)，等等。在運用經(jīng)濟假說時，要充分發(fā)揮主觀能動性，依據(jù)科學(xué)原理而不拘泥其間，勇于提出自己的假說；根據(jù)客觀事實，利用創(chuàng)造性思維，對未知的事物進行推斷；正視現(xiàn)實，以無私的態(tài)度接受實踐的檢驗，不斷地修正或放棄經(jīng)濟假說中的不妥之處。
數(shù)學(xué)假設(shè)是經(jīng)濟假說的精確化。它是用數(shù)學(xué)術(shù)語考慮前述一切過程。 對經(jīng)濟假說中所使用的基本經(jīng)濟概念或經(jīng)濟量作出數(shù)學(xué)假設(shè)。一般將要研究的量設(shè)為變量，將影響模型但非我們所要研究的量設(shè)為參量。此外，根據(jù)具體原型及經(jīng)濟假說，對變量和參量的數(shù)學(xué)性質(zhì)，定義域以及變量間的相互關(guān)系等等，給予嚴謹?shù)臄?shù)學(xué)定義。在數(shù)學(xué)假設(shè)中，既要盡力與經(jīng)濟原型吻合，又要有所創(chuàng)造和抽象，即要滿足經(jīng)濟假說的描述，又要兼顧模型的可構(gòu)造性。因此，數(shù)學(xué)假設(shè)是十分關(guān)鍵。最后，假設(shè)中還要考慮如何將實際的經(jīng)濟信息轉(zhuǎn)化成模型的參數(shù)問題，關(guān)于這一點本文下面還要論述。
二、數(shù)學(xué)模型的構(gòu)造與推導(dǎo)
構(gòu)造數(shù)學(xué)模型就是針對關(guān)于原型的特征規(guī)律和基本量的模型化假說，結(jié)合數(shù)學(xué)概念與方法，建立各經(jīng)濟因素之間的描述關(guān)系的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)。構(gòu)造數(shù)學(xué)模型是一種創(chuàng)造性的活動，沒有固定模式，構(gòu)模的思維方法一般有四類：
（1）直接分析。當模型化假說十分清楚，各因素間的數(shù)量關(guān)系和邏輯關(guān)系比較簡單，可以直接地進行推理分析，構(gòu)造模型或使用標準模型。
（2）比擬思考。當問題的機理和假說不甚分明時，類比具有共性的事物；思考它們的構(gòu)模方式，運用直覺、想象和靈感，在不同形式的事物間建立起同構(gòu)或同態(tài)關(guān)系。
（3）啟發(fā)性思考。啟發(fā)性思考是從一般到特殊的思維方式。它運用已有的理論和原型方面的知識，探討應(yīng)用于構(gòu)模的可能性。理論聯(lián)系實際是其特征。
（4）理想實驗法。當模型化假說較為復(fù)雜時，這是一種假想實驗，此過程往往和模型化假說關(guān)系密切，是運用邏輯思維時設(shè)想的情況進行分析，和運用數(shù)學(xué)工具進行理論上的推導(dǎo)地過程。
構(gòu)造模型是一個創(chuàng)造性的過程，因此沒有固定的模式，下面就構(gòu)模方法作一簡單的綜述：
（1）數(shù)據(jù)分析法
對結(jié)構(gòu)尚不清楚或結(jié)構(gòu)已定但參數(shù)未定的模型，可采用此法。其特征是利用數(shù)據(jù)作多元分析。如相關(guān)分析、聚類分析或回歸分析等，最后推斷出數(shù)量之間的結(jié)構(gòu)關(guān)系。
（2）量綱分析法(dimensional analysis)
此法原于物理學(xué)。它的理論依據(jù)是P定理(P-theorem)和相似定理(Law of similitude)其大意為物理量都帶有量綱，當度量基本單位改變時，物理定律仍然不變。我們把它平移到經(jīng)濟學(xué)中，有量綱的經(jīng)濟量之間的數(shù)量規(guī)律不隨量綱的變化而變化。
（3）幾何直觀法
這是經(jīng)濟中最常用的方法之一。圖形傳遞的信息以描述為主。根據(jù)幾何直觀構(gòu)造相應(yīng)的或推廣的模型，以及其應(yīng)有的性狀是有效的。
（4）標準問題法
由于客觀事物的同一性，許多不同的原型可以抽象為標準問題，這些標準問題與確定的模型相對應(yīng)。找到原型的標準問題也就是找到了模型。
（5）數(shù)學(xué)分析法
利用特定的數(shù)學(xué)理論和方法（如數(shù)學(xué)分析、代數(shù)、拓樸概率、統(tǒng)計、微分方程等）構(gòu)造相應(yīng)的模型，這種方法要求構(gòu)模對該數(shù)學(xué)分支的分析方法和理論有一定的了解。
（6）計算機模擬法
根據(jù)原型分析，設(shè)計出結(jié)構(gòu)邏輯圖，然后利用某種計算機模擬語言，進行模型設(shè)計。
至于模型的推導(dǎo)過程則主要是依據(jù)數(shù)學(xué)理論和方法進行的，以運用數(shù)學(xué)技巧為主。
§2.4.3 數(shù)學(xué)模型數(shù)學(xué)性質(zhì)和經(jīng)濟背景研究
利用數(shù)學(xué)理論和方法研究已構(gòu)造好的數(shù)學(xué)模型，是模型化中必不可少的。由于數(shù)學(xué)理論的抽象性可能會得出一些意想不到的結(jié)論，對這些結(jié)論應(yīng)與適當?shù)慕?jīng)濟背景分析和研究，下面我們就經(jīng)濟中四類常見的模式指出它們各自主要研究的方面。
一、概念性模式
基本概念模式是最簡單的研究模式，對于數(shù)學(xué)模型中的基本量以研究其單調(diào)性、凸凹性、連續(xù)性、可微性、周期性或運動穩(wěn)定性等數(shù)學(xué)性質(zhì)為主，同時研究這些數(shù)學(xué)性質(zhì)的經(jīng)濟背景。例如導(dǎo)數(shù)可能和邊際、變動率、彈性等概念有關(guān)；凸性可能與下降且遞增或上升且遞減等概念有關(guān)，而周期性則可能與季節(jié)性波動或經(jīng)濟循環(huán)等概念有關(guān)。另外，對基本概念模型引出的特殊的數(shù)學(xué)性質(zhì)，應(yīng)用到經(jīng)濟上去接受檢驗。
二、指標性模式
指標模式是經(jīng)濟中應(yīng)有最廣泛的模式。對數(shù)學(xué)模型設(shè)計有關(guān)指標并進行指標驗證是研究數(shù)學(xué)模型的背景的手段。由于經(jīng)濟指標應(yīng)具有的特點是不僅具有一定的經(jīng)濟解釋，而且與一定的運算規(guī)則相聯(lián)系，例如率、比、指數(shù)常和商的運算有關(guān)；累計、總和常與求和或積分運算有關(guān)。指標的經(jīng)濟解釋一般是清楚的，只是對構(gòu)成指標的諸因素的作用和影響應(yīng)予以研究。分析各因素對指標的影響可以更科學(xué)地設(shè)計和控制指標，避免盲目依賴指標而導(dǎo)致謬誤。
三、方程類模式
這類模型本質(zhì)是可以利用其數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)去尋找滿足某些性質(zhì)的數(shù)值解或函數(shù)解。方程本身則表示某種經(jīng)濟行為，一般說來，需要研究的數(shù)學(xué)性質(zhì)有模型對參數(shù)穩(wěn)定性，解的存在性、唯一性，可構(gòu)造性或可計算性，以及解的穩(wěn)定性等等。此外，對上述性質(zhì)成立或不成立的條件，也應(yīng)予以數(shù)學(xué)證明及經(jīng)濟解釋。
四、最優(yōu)化類模式
優(yōu)化類模式與方程類相似，除上述內(nèi)容外，值得注意的是最優(yōu)化模型一般存在著對偶模型，其原型與原問題的原型相對偶，研究模型的對偶性質(zhì)對深化原型的研究也是必要的。
§2.4.4 解模算法的研制及公式化
概念模型和指標模型的算法一般是不難的，方程類和優(yōu)化類模型則以求解為算法的重點。解模算法就是根據(jù)已有的數(shù)據(jù)和數(shù)學(xué)模型，計算或解出未知或待定的數(shù)值解或函數(shù)解的方法，公式化則指把算法的具體步驟用嚴謹?shù)?、標準的、可直接計算的?shù)學(xué)公式表示出來，研制解模算法大致分以下幾步：
（1）研究考查數(shù)學(xué)模型及相關(guān)的算法
一般說來，一類數(shù)學(xué)模型總有與之相應(yīng)的一類算法，考查數(shù)學(xué)模型的類型和結(jié)構(gòu)，選擇和利用已知算法，可以避免重復(fù)勞動，處理大規(guī)模問題時，可以結(jié)合計算機程序化分析和選擇算法，先把整個計算或求解過程分解成若干子塊，把具有共性的子塊放在一起統(tǒng)一考慮相應(yīng)的算法。
（2）具體研制算法
完全套用已有算法的情況是不多見的，具體研制算法過程中，大致包括有關(guān)數(shù)學(xué)模型的條件修正，數(shù)學(xué)模型結(jié)構(gòu)的變換或近似，舊算法的改進、移植、新算法的研制；符號的諧調(diào)一致以及子算法的邏輯關(guān)系的統(tǒng)一。
（3）算法的估價
估價算法大致有以下幾個方面，算法的復(fù)雜性、收斂性和程序化的水平；精確度或誤差量的可控性水平；簡易性和實用性水平；以及解決同類問題的能力和擴展的潛力等等。
一般說來，選擇算法的標準是計算誤差小、方法簡單、計算時間短和經(jīng)濟耗費低。應(yīng)當指出算法的估價標準也是選擇算法的標準，只不過我們事先不知道罷了。至于公式化則主要是為程序化作準備的，相當于把模型和算法用基本的、初等的數(shù)學(xué)語言加以描述，它是算法實現(xiàn)的一部分。
§2.4.5 程序設(shè)計和支持系統(tǒng)的開發(fā)
計算機是人腦和手的延拓，它使數(shù)學(xué)模型的實際應(yīng)用成為可能，如果數(shù)學(xué)模型的規(guī)模較大，復(fù)雜程度較高，使用率也高，或要求迅速得出結(jié)果，則可考慮使用計算機，大致需要經(jīng)過以下過程：
（1）公式化數(shù)學(xué)模型和所選用的算法
由于計算機畢竟只能按人們事先約定的方式進行演算，許多數(shù)學(xué)符號不能直接輸入，因此必須把所有需要計算機處理的內(nèi)容進行公式化。
（2）構(gòu)造一整套程序框架
計算機程序往往是牽一發(fā)而動全身，故構(gòu)造框架時力求嚴謹、精細和完整、子框架之間的接口要邏輯分明，設(shè)計一個好的框架是成功的關(guān)鍵。
（3）根據(jù)具體情況，選擇計算機的類型、編程序的語言，以及適應(yīng)的操作系統(tǒng)。
（4）設(shè)計較細致的框圖，編制程序和部分調(diào)試。
（5）設(shè)計信息處理支持系統(tǒng)
其中包括：多種信息輸入形式，統(tǒng)計預(yù)測方法支持系統(tǒng)，文件支持系統(tǒng)，關(guān)系數(shù)據(jù)庫支持系統(tǒng)，以及信息直接轉(zhuǎn)化模型參數(shù)系統(tǒng)等等。
（6）程序的輸入調(diào)試與檢測
調(diào)試方法有：將大程序分為子塊調(diào)試，最后再聯(lián)接的分塊調(diào)試法；有加入顯示程序尾隨運算過程的跟蹤法，有虛擬數(shù)據(jù)的逆向調(diào)試法等等。經(jīng)常有這樣的情況，程序已可以使用，但仍有錯誤。
（7）程序的維護和功能的完善化
第三章 經(jīng)濟統(tǒng)計指標模型
模型化過程的第一步是收集原型的有關(guān)信息，而信息的收集涉及到抽樣調(diào)查的指標設(shè)計和信息的分類處理問題。本章主要討論模型化信息的收集與統(tǒng)計處理方法。
§3.1 模型化信息的收集方法
信息是表現(xiàn)事物運動狀態(tài)以及和其他事物相互作用的一種形式。收集有關(guān)原型的信息則是模型化中必不可少的一環(huán)。收集信息是為了實現(xiàn)模型化目的，是一種有意識的活動。一般來說，模型化信息有五類：
（1）先決信息：即有關(guān)模型化所需的準備性信息。如模型化的簡單設(shè)想，原始概念、框架、草圖、有關(guān)的經(jīng)濟理論、事實、和一般規(guī)律，以及必要的數(shù)學(xué)知識等方面的信息。
（2）外界環(huán)境信息：即有關(guān)原型外延的信息。其中包括定義明確的原型界限，原型外部對原型的影響、作用，以及它們之間的相互作用。
（3）內(nèi)部結(jié)構(gòu)信息：即原型體系內(nèi)部的結(jié)構(gòu)信息。其包括原型的組成方式，原型元和子原型存在的形式、功能及相依關(guān)系等等。
（4）原型性狀信息：即原型作為一個整體的性態(tài)狀況方面的信息。其包括原型存在的目的、形式、行為、性狀、特征以及發(fā)展趨勢和變異、消亡的條件等。
（5）數(shù)量信息：即已數(shù)量化或可數(shù)量化的信息。其包括現(xiàn)在的、歷史的、不同空間的原型及模型化的數(shù)據(jù)資料、圖表、以及原型的量變規(guī)律，乃至數(shù)量化及收集方式等等。
以上信息不是互斥的，而且有些信息正是需要通過模型化得到的。Samuel L.S.Jacoby (1980)曾就模型化目的與原型信息給出一張關(guān)系表（見表3.1），我們稱此表為雅可比表。并利用它做為收集信息的指南。
3.1 雅可比表：
原型 模型化目的
信息 觀察解釋 計劃設(shè)計 最優(yōu)化規(guī)劃 運行機理分析 運籌控制 研究
初等的概念、設(shè)計或計劃 A A A A A A
定義完備的系統(tǒng)、事物或過程 R A&R A&R A A R
元素、輪廓和固定參量 R A&R A&R A A R
可調(diào)節(jié)參量 R A&R R A R R
外圍、環(huán)境、運行條件 A A A A A A
目的、使用、外貌、行為、表現(xiàn) A&R A A R A A
說明* A：可獲信息 R：結(jié)論性信息
不同類型的模型對信息的要求也不一樣，請讀者自己設(shè)計一張關(guān)系表做為練習(xí)。
收集信息的方式很多，我們重點介紹經(jīng)濟統(tǒng)計方法。眾所周知，統(tǒng)計方法指搜集、整理、表現(xiàn)和分析數(shù)據(jù)資料，并根據(jù)分析結(jié)果導(dǎo)出經(jīng)濟結(jié)論，乃至作出合理決策的科學(xué)方法。但我們只關(guān)心前幾步。社會經(jīng)濟現(xiàn)象多具有群體性，統(tǒng)計信息就是經(jīng)調(diào)查而得到的有關(guān)原型的總體性數(shù)據(jù)。依統(tǒng)計學(xué)慣例，我們將數(shù)據(jù)分為原始數(shù)據(jù)與次級數(shù)據(jù)，或靜態(tài)數(shù)據(jù)與動態(tài)數(shù)據(jù)。原始數(shù)據(jù)指為了模型化目的，經(jīng)過實地調(diào)查或直接從其他機構(gòu)收集來的尚未經(jīng)過任何簡化與整理的數(shù)據(jù)資料；次級資料則指通過整理、簡化等處理后的，可供模型化直接利用的數(shù)據(jù)；靜態(tài)數(shù)據(jù)指某時刻的靜止狀態(tài)的數(shù)據(jù)；動態(tài)數(shù)據(jù)則指特定時期內(nèi)繼續(xù)發(fā)生的演變過程的數(shù)據(jù)。統(tǒng)計資料的共性是數(shù)字性，總體性和客觀性，構(gòu)成統(tǒng)計量的三要素是時間、空間和屬性，這些都需要在模型化中加以說明和注意。
（一）收集統(tǒng)計信息的方式大致有四類：
1.調(diào)查
以方式劃分：親自調(diào)查、委托調(diào)查和通訊調(diào)查；以范圍劃分有普查和抽樣調(diào)查。
2.登記
3.實驗
4.次級數(shù)據(jù)的搜集
在模型化工作中，這四類方式都會遇到，我們僅介紹普查與抽樣調(diào)查。
所謂普查是指將需要研究的某種社會經(jīng)濟現(xiàn)象的全體進行逐一調(diào)查，以期獲得完整、詳細、可靠的總體數(shù)據(jù)。普查注重時間上的一致性，空間上的普遍性和方法上的統(tǒng)一性。普查的問項簡易，組織龐大，精度較高，但耗資較大，一般是在政府支持下完成。抽樣調(diào)查是在欲研究的總體中選取一部分加以調(diào)查。目的是在省時、省事、省錢的原則下，以最小的代價獲得較精確的信息，利用概率論與數(shù)理統(tǒng)計推斷總體特征。其在時空上限制較少，方法綜合靈活。抽樣調(diào)查的問項細致深入，組織規(guī)模較小，費用低廉，精度雖稍差，但可以調(diào)整控制。常用的抽樣方法有以下幾種：
（1）立意抽樣：依據(jù)某種準則，將總體中某些具有代表性的個體抽出來組成樣本，這種方法稱為立意抽樣。
（2）隨機抽樣：在不受任何人為因素影響的條件下，等概隨機地從總體中抽出若干個體以組成樣本，謂之隨機抽樣。
（3）分層抽樣：依照某種準則將總體分成若干層次(Stratum)，盡量使得層內(nèi)的抽樣單位同質(zhì)，而不同層次的抽樣單位異質(zhì)，再由各層中抽出適當?shù)膯挝唤M成樣本。這種方法叫作分層抽樣法。
（4）集團抽樣：將總體分成若干集團(Cluster)，并盡量使集團內(nèi)的抽樣單位異質(zhì)，而集團間的抽樣單位同質(zhì)。把這些集團視為抽出單位，依單純?nèi)纬榉绞匠槌銎渲腥舾杉瘓F，再在抽出的若干集團內(nèi)進行調(diào)查。此法稱為集團抽樣。
抽樣的方法很多，例如多段抽樣法、系統(tǒng)抽樣法、弗曼抽樣法，兩段抽樣法等等?？梢曅枨髶駜?yōu)用之。
§3.2 模型化信息的統(tǒng)計處理方法
我們對已收集到的數(shù)據(jù)的整理可分為三步：
1.分類：依互斥性與周延性原則，將特性相仿的數(shù)據(jù)分為一類。
2.歸類：把數(shù)據(jù)分別歸入應(yīng)屬類別，方法有劃記法、卡片法和電腦錄入法。
3.列表：將次級資料按照模型化研究目的，做成數(shù)據(jù)表和統(tǒng)計圖。
次數(shù)分配表是統(tǒng)計表中最重要的一類。屬于同一變量的一組數(shù)據(jù)或分組后屬于同一組的數(shù)據(jù)個數(shù)稱為次數(shù)。將各組次數(shù)依序排列稱為次分配。其目的是將數(shù)據(jù)資料凝聚成更簡明的形式，使數(shù)據(jù)便于模型化的利用。而且次數(shù)分配作成的次數(shù)直方圖及次數(shù)曲線圖等與數(shù)學(xué)上的函數(shù)概念相吻合。我們首先介紹幾個常見的概念：
①分組數(shù)據(jù)：以次數(shù)分配的形式所表示的數(shù)據(jù)。
②組限：各組的兩端數(shù)值，其中最大者稱為上限，最小者稱為下限。
③組距：在分組次表中，線一組數(shù)據(jù)所包括的范圍，即上限與下限的距離。
④組寬：組距上下限之差。
⑤組中點：每組上下限的中點，亦稱組代表值。
⑥全距：數(shù)據(jù)中最大數(shù)與最小數(shù)之差。
編制次數(shù)分配表的步驟如下：
1.求全距：即計算出最大的和最小的數(shù)值之差。
2.分組：即參照全距將數(shù)據(jù)分成若干組或決定出每組組距的大小。一般來說，8≤組數(shù)≤30，組距盡量相等。
3.定組限：選組限應(yīng)使各組的上限、下限和組中點為整數(shù)或其他簡單的數(shù)字。出限次數(shù)多的數(shù)不宜定為組限。
4.歸類：即將數(shù)據(jù)歸入應(yīng)屬的組內(nèi)，記下次數(shù)。
5.計算次數(shù)：統(tǒng)計各組的次數(shù)。
6.列次數(shù)分配表：表中有分組（組中點、組界、組限）、次數(shù)、以上累加次數(shù)、以下累加次數(shù)、相對次數(shù)、累加相對次數(shù)或百分比次數(shù)等欄目。
【例2.3.1】（取自高東正《統(tǒng)計學(xué)概要》）某工廠的50位職工的年齡資料如下：
20 26 28 21 25 32 34 37 15 46
26 23 21 22 17 28 33 38 38 36
40 18 29 23 21 27 25 26 51 48
19 25 26 31 32 28 20 33 28 24
42 24 16 21 26 24 32 31 35 18
我們編制次數(shù)分配表并繪出直方圖和累積次數(shù)曲線。
①以5為組距編制次數(shù)分配表：
年齡組別 次數(shù)（|） 相對次數(shù)(F) 以上累加數(shù) 以下累加數(shù)
15～19 6 0.12 50 6
20～24 12 0.24 44 18
25～29 14 0.28 32 32
30～34 8 0.16 18 40
35～39 5 0.1 10 45
40～44 2 0.04 5 47
45～49 2 0.04 3 49
50～54 1 0.02 1 50
合計 50 1
②繪直方圖和次數(shù)多邊圖
圖3.1
③繪制累積曲線：
圖3.2
可以看出，我們得到了比原數(shù)據(jù)濃縮的數(shù)量信息。如果以組中點和組次數(shù)相對應(yīng)，并把A和|連續(xù)化，可以得到光滑的曲線。
統(tǒng)計圖在經(jīng)濟數(shù)學(xué)模型中經(jīng)常使用。它利用點的多少，線的長短，面積的大小，顏色的濃淡，線條的疏密或曲線的變化，來表示數(shù)據(jù)的大小程度、變動情況、分布狀態(tài)和相依關(guān)系。統(tǒng)計圖的類型繁多，以繪圖目的為標準，可分為說明圖、計算圖和科；以應(yīng)用環(huán)境為標準，可分為掛圖、桌圖和書圖；以所用尺度為標準，可分為算術(shù)尺度圖、單對數(shù)尺度圖和雙對數(shù)尺度圖；以形狀為標準，可分為線圖、長條圖、時間數(shù)列曲線圖、面積圖、洛倫茲曲線圖，立體圖、統(tǒng)計地圖、象形圖、以及組織圖、工作程序圖和工作進度圖；以統(tǒng)計數(shù)列為標準，可分為時間數(shù)列圖、地理數(shù)列圖、屬性數(shù)列圖和變量數(shù)列圖等等。
在經(jīng)濟研究中統(tǒng)計圖是極重要的”數(shù)學(xué)模型”，利用它可以顯示數(shù)量間的相互關(guān)系，便于進行多種復(fù)雜現(xiàn)象的比較，以供研究者分析和說明。尤其讓使用
者在甚短的時間內(nèi)，就能得到對經(jīng)濟原型某一事實的明確具體的概念，減少了冗長的文字或數(shù)字的說明，引起對該事實的興趣。
制圖程序可由下面的框圖說明：
圖3.3
除圖形以外，完整的統(tǒng)計圖還包括以下細節(jié)：
1. 標題：有簡潔的文字寫在圖的上方。
2. 原文注釋：寫在標題下方，較小或不顯著的位置。
3. 注腳：寫在圖的下方，以對段首目欄予以必要的說明。
4. 資料來源：常寫在注釋下方，以表明所搜集的資料的名稱、頁數(shù)等。
5. 約略數(shù)字：當數(shù)字有約略時，應(yīng)在注釋段首、或目欄開頭說明其效果。
6. 比值：必須說明比值的意義。例如是”總數(shù)的百分比”還是”增減的百分比”，而不要以”百分比”代之。
7. 數(shù)：欲強調(diào)的數(shù)應(yīng)寫在上端或左方，否則可寫在下端或右方。
8. 單位：行或列的數(shù)字單位必須特別指明，如標上”￥”或”＄”。
我們經(jīng)過搜集、分類、歸類、列圖表等程序后得到的統(tǒng)計資料，在形式上已比較整潔。訓(xùn)練有素的經(jīng)濟學(xué)家能夠直接從統(tǒng)計資料中窺出其蘊藏的問題。但畢竟仍嫌雜亂繁瑣，尤其是資料種類及數(shù)量較多時不便利用。就數(shù)據(jù)性質(zhì)可歸兩類：一是中央趨勢量，二是差異分散量。我們羅列如下：
一、中央趨勢量
在有序的數(shù)據(jù)集合中，表示其中心的量稱為中央趨勢量。在經(jīng)濟中常用的有：平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、四分位數(shù)和百分位數(shù)。假設(shè)數(shù)組為x1，x2，…xn，分成K組后的組中點為 ,組頻數(shù)為|j，其中j=1,…,k，則
（1）平均數(shù)
a）算術(shù)平均數(shù)
(未分組)
(分 組)
數(shù)據(jù)不多時可用前式，否則用后式。利用公式的性質(zhì)可得簡捷算法：
此外，算術(shù)平均數(shù)有以下性質(zhì)：
①
② （可擴充性）
③ （最佳性）
b）加權(quán)算術(shù)平均數(shù)
設(shè)數(shù)組x1，x2，…，xn的重要性程度由要系數(shù)w1，w2 …，wn表征，則
c）幾何平均數(shù)
（未分組）
（分組）
它多用于比率平均及測定動態(tài)變化量。計算方法是利用對數(shù)性質(zhì)：
(d)調(diào)和平均數(shù)
(未分組)
(分組)
其多用于有兩個計算單位時，如平均速度、平均物價等等。
（2）中位數(shù)
中位數(shù)指一有序數(shù)組中位居中間的數(shù)值，記作Me。中位數(shù)所在的數(shù)組稱為中位數(shù)組。假設(shè)樣本數(shù)n，中位數(shù)組組下限Lme，中位數(shù)組組上限Ume，低于Lme的所有項數(shù)之和為FLme，低于Ume的所有項數(shù)之和是FUme，中位數(shù)組的次數(shù)是|me，中位數(shù)組組距為hme，則
未分組時，
分組時，
（3）眾數(shù)
在一數(shù)組中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，稱為眾數(shù)，記作M0，確定眾數(shù)的方法有三種：
a）金氏法：
其中Lmo是眾數(shù)所在組的下限，|-1是眾數(shù)組的前一組的次數(shù)，|+1是眾數(shù)組后一組的次數(shù)，hmo是眾數(shù)組的組距。
b）比例法
其中f0是眾數(shù)所在組的次數(shù)，其余同上。
c）皮爾生經(jīng)驗法
4）分位數(shù)
a）四分位數(shù)
如果將一有序數(shù)組分割成四個部分，其三個分割點就稱為四分位點。從最小數(shù)值點算起，依次稱作第一、第二、第三分位數(shù)，記作Qk，k=1,2,3，且
k=1,2,3，
式中 表示第k個四分位數(shù)所在給的組下限，fk表示小于 的各組次數(shù)之和， 表示第k四分位數(shù)所在組的組距，n表示總次數(shù)。
b）百分位數(shù)
設(shè)Pk為第k百分位數(shù)，則
k=1,…,99
其中 是第k百分位數(shù)所在組的組下限，fk是小于 的各組次數(shù)之和， 是第k百分位數(shù)所在組組距，n是總次數(shù)。
中央趨勢量在社會經(jīng)濟中占有十分重要的地位，群體往往有向中心均衡集中的傾向，故利用它可以反映群體。作為一個優(yōu)良的中央趨勢量應(yīng)具有六條性質(zhì)：①簡單明確；②感應(yīng)靈敏；③定式嚴謹；④計算簡易；⑤代數(shù)公式化；⑥抽樣穩(wěn)定性好。
二、差異量數(shù)
群體中各個個體之間存在著差異，表示變異狀態(tài)的數(shù)量稱為差異量數(shù)。經(jīng)濟統(tǒng)計中常見的差異量數(shù)有離中差，離均差和非離均差。它們的公式如下：
（1）離中差
離中差是以Me為中心的差異量數(shù)，它包括平均差和分位差。
a）平均差
其中Me是中位數(shù)，目前多采用 代替Me。
b）分位差
①四分位差
Q.D=1/2[Q3-Q1] ②百分位差
（2）離均差
離均差是以 為的差異量數(shù)。如標準差等
①標準差
簡捷算法公式為：
②P范數(shù)標準差
（未分組）
（分組）
（3）非離均差
非離均差有兩極差、均互差等。
a）兩極差（全距）
其中Uu是最大組的上限，Le是最小組的下限。
b）均互差
①未分組
②分組
若組距相等，則有
式中h是組距，Cj是以下累加次數(shù)。
與中央趨勢量相仿，對差異量數(shù)的要求也是易于計算和理解，確定方式嚴密，感應(yīng)靈敏，適于代數(shù)處理，以及受抽樣變化的影響小。除中央趨勢量和差異量數(shù)外，變異系數(shù)也是經(jīng)濟中常見的統(tǒng)計量，如
（1）標準差異系數(shù)
（2）平均差異系數(shù)
（3）四分位差異系數(shù)
（4）均互差異系數(shù)
（5）均互差中位差異系數(shù)
=g/Me×100%
第四章 銷售機理模型化過程
本章通過銷售機理分析，提出用主觀概率預(yù)測模式代替簡單的數(shù)學(xué)外推預(yù)測，從而改進了銷售預(yù)測的方法。通過對成本機理的分析，構(gòu)造了一組適用于一般情況的成本模型，在經(jīng)濟收益分析中，研究了盈利能力的度量模型，進而提出了廣義利潤、廣義創(chuàng)利額等概念和模型。 在風(fēng)險機理的分析中，采用變異系數(shù)、偏態(tài)系數(shù)、峰態(tài)系數(shù)和標準差共同度量決策的不確定性；用熵值變量決策的不肯定性以及用實現(xiàn)目標值的可能性度量決策的成功與失敗。在時間機理分析中提出了貼標準值法，并討論了系列收入或支出的近似模式。
§4.1 銷售機理分析與基本模型
在一定時期內(nèi)一定數(shù)量的某種商品，所能從生產(chǎn)領(lǐng)域經(jīng)流通領(lǐng)域，最終進入消費領(lǐng)域的其客觀基礎(chǔ)是什么呢？首先，是在于該種商品有用性，”物的有用性使物成為使用價值”。[30] 就是消費者對該商品有客觀上的需求。其次，在按勞分配原則和物質(zhì)利益原則下，消費者手中的貨幣應(yīng)標志著其付出的勞動或社會分配。如果需求者認為商品的使用價值和價值大體上與其需求程度和價格相當，則有購買的可能性。顯然，如果消費者愿意支付的數(shù)量小于供給量，則商品不能實現(xiàn)或完全實現(xiàn)其使用價值和價值。但如果降低價格則有可能實現(xiàn)。因此，合理的價格是商品順利地進入消費領(lǐng)域的必要條件。
我們定義能銷售量這個經(jīng)濟概念為：在一定的市場環(huán)境和一定的行銷規(guī)劃下，消費者可能愿意并能夠支付的需求量。所謂市場環(huán)境是指一定的地理區(qū)域和期間內(nèi)的人口、經(jīng)濟、政治、文化和科技等的狀況和水平。行銷規(guī)劃是指企業(yè)對銷售價格、推銷途徑和行銷努力等方面的計劃和安排。顯然，影響能銷量的隨機因素很多，而且與決策者的預(yù)測有關(guān)。因此我們視之為主觀隨機變量。為了簡便起見，我們設(shè)能銷售量是只和價格有關(guān)的隨機變量。
現(xiàn)在，我們分析在一定時期內(nèi)未能銷售掉的商品。首先，商品作為使用價值存在有一定的時間限制，”如果商品沒有按照它們的用途，在一定時期內(nèi)進入生產(chǎn)消費或個人消費，換句話說，如果它們沒有在一定時期內(nèi)賣掉，它們就會變壞。并且在喪失它們的使用價值的同時，也就喪失作為交換價值承擔者的屬性?quot;[31] 因此，逾期未能售出的商品應(yīng)當降價銷售。否則，對經(jīng)營者來說，拖延銷售時間只會增加流通費用，影響資金周轉(zhuǎn)，得不償失。于是，我們可以做出經(jīng)濟假說，凡逾期未能售出的商品均應(yīng)及時處理掉，而且每單位商品可以收回的殘值約等于處理價格。這里的處理價格是指可以及時處理掉所有剩余商品的最合理的價格。一般說來，殘值總是低于處理價格。
假設(shè)現(xiàn)有n種待決策的商品，根據(jù)上述經(jīng)濟分析和假說，對有關(guān)經(jīng)濟量作以下數(shù)學(xué)假設(shè)：設(shè)生產(chǎn)量（或采購量）記為 x=(x1,x2,…xn)T，其滿足x30。設(shè)能銷售量是隨機向量，記為：x=(x1,x2,…xn)T，其中xk(k=1,2, …,n)的期望Exk和方差Dxk都存在，且Exk是關(guān)于價格Pk單調(diào)下降的凸函數(shù)。設(shè)價格向量為P=(P1,P2…Pn)T,且P??。其中?是價格的約束集合，特別是?= 。設(shè)處理價格為DP=(DP1,DP2,…DPn)T這是一個給定的常向量。
我們開始構(gòu)造銷售額模型。所謂銷售額(Sales Revenue)指在一定時期內(nèi)的銷售收入。如果商品k的生產(chǎn)量或采購量Xk小于或等于能銷售量xk，則商品都可以以價格Pk售出。但如果供給量Xk大于能銷售量xk，則只有數(shù)量為xk的商品k以價格Pk售出。根據(jù)假說，剩下的數(shù)量為Xk－xk的商品必須以處理價格DPk及時處理掉。因此，我們得到：
銷售額模型
總銷售額
其中隨機指標集合
J1（X，x）={k?Xk￡xk，1￡ k ￡ n}
J2（X，x）={k?Xk>xk，1￡ k ￡ n}
J1（X，x）∩J2（X，x）=?且J1（X，x）∪J2（X，x）
={1，…，n}
我們下面給出過剩損失模型，所謂過剩損失是指由逾期未能售出商品所造成的損失。由假設(shè)DPk等于殘值SVk。當Xk￡xk時剩余量為零，當Xk>xk時，剩余量為Xk－xk。每剩余一個單位的商品，則損失（Pk－DPk），因此
過剩損失：
總過剩損失：
我們對銷售額模型稍作變形，則有
因此，我們有：
SRk(Xk,xk)=PkXk－ELk(Xk,xk)
其中PkXk是順利情況下商品K的銷售額。
類似地，我們有
即隨機的銷售收入等于正常的銷售收入減去隨機的過剩損失。
§4.2 成本機理分析和基本模型
經(jīng)營者在從事一項經(jīng)濟活動中，總是要有一定的人力、物力和財力的消耗。商品成本是以貨幣形式表現(xiàn)的企業(yè)為生產(chǎn)和銷售商品而消耗的生產(chǎn)資料價值和支出的勞動報酬。一個較一般的成本概念是”成本是為了達到一個特定目的而已經(jīng)發(fā)生或可能發(fā)生的，以貨幣計量的犧?quot;。[33]模型中提到的成本指已統(tǒng)一量綱為貨幣單位的成本。
我國對成本的一般分類準則有按經(jīng)濟性質(zhì)劃分的要素分類；有按用途和計入成本的方法劃分的項目分類等。由于經(jīng)濟現(xiàn)實的復(fù)雜性、成本的概念、歸類方式及統(tǒng)計方法都不太統(tǒng)一，嚴格地說來，財會的成本資料不能直接用于決策分析，因為我們難以把各種成本都歸入模型。因此必須尋找有實用價值的成本概念和新的思想，做為我們模型的依據(jù)。
管理會計學(xué)為我們提供了一些極有價值的新概念和新思想。雖然有些概念從數(shù)學(xué)上看是簡單的，但對經(jīng)濟學(xué)上卻曾意味著突破?，F(xiàn)在我們就與決策有關(guān)的概念加以分析。對于企業(yè)的一項決策而言，并非所有的成本都與決策有關(guān)，故可將成本分為相關(guān)成本(relevant cost)和無關(guān)成本(irrelevant cost)。顯然，無關(guān)和相關(guān)是相對的，需因情況而異。選擇模型所需成本信息時，首先應(yīng)做分類工作。
根據(jù)決策者所處的管理層次，可以將成本分為可控成本(controllable cost)和不可控成本(uncontrollable cost)。決策者訂出歸自己控制的成本范圍后，可有效地利用成本信息。
一般地說，成本的性質(zhì)雖然各有不同，但就其與生產(chǎn)數(shù)量的關(guān)系而論，可分為固定成本(fixed cost)和變動成本(variable cost)。前者指在一定時期內(nèi)，一定的經(jīng)濟活動規(guī)模下，不隨產(chǎn)量而變動的費用支出；后者指隨產(chǎn)量做正比例變動的費用支出。應(yīng)當指出，還有一種半固定成本(Semifixed cost),它隨著產(chǎn)量的增長呈階梯形上升。為了簡便起見，我們假設(shè)已將此成本分別歸入固定成本和變動成本，并且假設(shè)單位變動成本是常量。其實，變動成本不一定是線性的，但當企業(yè)的生產(chǎn)規(guī)模不變時，它很接近線性。對企業(yè)而言，變動成本主要是指直接原材料、直接人工等費用，對商業(yè)企業(yè)而言，變動成本主要是指進購原價、小包裝費、運輸費和傭金等。固定成本主要是管理費、折舊費等。
在很多經(jīng)濟文獻中常把相關(guān)的固定成本處理成常量，但管理會計學(xué)根據(jù)固定成本涉及的范圍將它劃分為專屬固定成本(Special cost)和聯(lián)合固定成本(joint cost)。前者指專門由于某種經(jīng)濟活動的存在而發(fā)生的固定成本；后者指由于若干經(jīng)濟活動的存在而發(fā)生的固定成本。在這里我們假設(shè)，第k項數(shù)量決策Xk>0，則其專屬固定成本一定發(fā)生，否則不發(fā)生其專屬固定成本。當n32時，聯(lián)合固定成本存在，且其為零的充要條件是所有的經(jīng)濟活動都不發(fā)生。
在多品種的情況下，如何合理地把固定成本分攤到各項商品的成本之中是很重要的。一般的分攤方法有按固定資本占有分攤，按銷售額分攤或按變動成本分攤等方式。我們假設(shè)，固定成本分攤系數(shù)是已知的，現(xiàn)在我們討論一種特殊的成本或損失，即所謂機會成本(Opportunity cost or alternative)。機會成本并非通常所謂的成本，而是指在投資方案的選擇中，如果選擇了一個投資方案，則必須放棄投資于其他途徑的機會，其他途徑中最好的一種投資的收益，就稱為這項投資方案的機會成本。機會成本與實支成本(Outlay cost)是相對應(yīng)的。在我們研究的問題中，缺貨成本(Shortage cost)就是一項機會成本。即在企業(yè)確有剩余生產(chǎn)能力或購銷能力的情況下，因決策時優(yōu)柔寡斷或判斷失誤，沒有能夠及時地適量地向市場提供商品而損失的潛在收益。一般說來，商品k的機會損失應(yīng)小于單位創(chuàng)利額。但應(yīng)指出缺貨成本不僅是含有一定的主觀因素，而且也包含客觀上可能發(fā)生的成本。生產(chǎn)企業(yè)的缺貨成本中可能包括生產(chǎn)能力閑置損失，加急訂原材料費以及追加生產(chǎn)費用等；商業(yè)企業(yè)的缺貨成本中可能包括行銷能力閑置損失、加急進貨費用、相關(guān)商品的銷貨損失以及商譽損失等。
鑒于這些情況，我們認為缺貨的可能性很小或根本不承認缺貨成本。可以令其為零；如果不允許缺貨，則缺貨成本為無窮大；這時問題轉(zhuǎn)化為存量控制問題。在我們的模型中不嚴格地區(qū)分缺貨成本和機會成本，而籠統(tǒng)地稱計入缺貨成本或機會成本的成本為廣義成本。
至此，我們分析了有關(guān)的一些成本概念并做了適當?shù)募僭O(shè)。在這里我們只是從理論上討論了這些經(jīng)濟量。關(guān)于如何定量這些信息?？梢栽诠芾頃嫹矫娴奈墨I中找到。
我們現(xiàn)在假設(shè)，不可控制成本為常量NC。若從事商品k的生產(chǎn)（購銷）活動存在（Xk>0），則專屬固定成本為常量SFCk。否則（Xk=0），專屬固定成本為零。若n=1，則無聯(lián)合固定成本。若n32,則聯(lián)合固定成本為零的充要條件是X=(X1，X2，…，Xn )T=0。若X10，則聯(lián)合固定成本為常量JFC。這n種產(chǎn)品（商品）的聯(lián)合固定成本和不可控成本的分攤權(quán)系數(shù)為l1，l2,…，ln ,且滿足： 。單位變動成本為常量UVCk，單位缺貨成本為常量USCk。下面我們將基于上述假設(shè)來構(gòu)造模型。由于假設(shè)非常清楚，故僅將構(gòu)造的模型羅列于下：
（1）固定成本方面
商品k的固定成本FCk（X）：
商品k的單位固定成本UFCk(Xk)：
UFCk(Xk)=[lk(NC+JFC)+SFCk]/Xk
總固定成本FC(X)：
（2）變動成本方面
商品k的變動成本VCk(Xk)：
VCk(Xk)=UVCk·Xk
總變動成本VC(X)：
（3）成本方面
商品k的成本Ck(X)：
Ck(X)=FCk(X)＋VCk(X)
=lk[NC＋JFC·Sign(XTX)]＋SFCkSign(Xk)＋UVCk·Xk
單位成本UCk(Xk)：
UCk(Xk)=UFCk(Xk)＋UVCk
=[lk(NC＋JFC)＋SFCk]/Xk＋UVCk
總成本C(X)：
（4）缺貨成本方面
缺貨成本SCk(Xk，xk)：
總?cè)必洺杀維C(X,x)：
其中隨機指標集合J1 (X,x)={k|Xk￡xk，1￡k￡n}
（5）廣義成本方面
廣義成本GCk(X, xk)：
其中隨機指標集合：
J1 (X,x)={k|Xk ￡ xk,1￡ k ￡n}
至此我們構(gòu)造完了主要的成本模型。
§4.3 經(jīng)濟收益與基本模型
衡量經(jīng)濟收益的指標很多，為了在量綱方面有統(tǒng)一的準繩，我們只考慮與貨幣有關(guān)的指標。下面我們就最重要的收益概念進行分析和構(gòu)模。
我們進行模型化分析的目的是為了實現(xiàn)企業(yè)的最終目的。企業(yè)的最終目的是利潤，離開了利潤，企業(yè)就失去了生存和發(fā)展的條件。所以在市場經(jīng)濟條件下，企業(yè)無一不是以利潤作為行動的根本準則。一般認為，能提供最高利潤的方案無疑被認為是最優(yōu)方案。
利潤指銷售收入減去全部成本后得到的收益，利潤率則指利潤和全部成本之比。這里所說的利潤是指凈利潤。凈利潤中再扣除稅賦則為稅后凈利潤或稅后利潤。我們知道，如果需考慮稅的因素時一般只須在利潤上乘一個（1－稅率）或扣除產(chǎn)品稅（=產(chǎn)量×單位稅金）即可。為了簡潔起見，我們暫不考慮稅的因素。下面給出利潤的基本模型：
利潤：
NIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－Ck(X)
總利潤：
NI(X,x)=SR(X,x)－C(X)
如果考慮機會成本，則得出廣義利潤的模型：
廣義利潤：
GNIk(X,xk)=SRk(Xk,xk)－GCk(X,xk)
總廣義利潤：
GNI(X,x)=SR(X,x)－GC(X,x)
我們應(yīng)當指出，當機會成本為零時，利潤和廣義利潤相等。為了避免比率模型中出現(xiàn)兩個隨機變量之比，我們假設(shè)一切比率模型都是分子的期望和分母的期望之比。例如廣義利潤率等于廣義利潤的期望和廣義成本的期望之比。我們下面討論一個與盈利能力有關(guān)的經(jīng)濟概念。
一種令人困惑的說法是：”當賣價低于全部成本很多時，廠商可以從事一定程度的經(jīng)營而受益”。這個似非而是的說法突破了傳統(tǒng)的觀念。我們依據(jù)前面的成本分析，單位成本是由單位固定成本和單位變動成本構(gòu)成的，前者隨經(jīng)營量而下降，后者相對穩(wěn)定。因此，既使單位價格低于單位成本也不一定經(jīng)營的業(yè)務(wù)量愈大，賠的愈多。使人困惑的原因是人們習(xí)慣于以單位利潤為每一單位產(chǎn)品（商品）的盈利能力。目前，國外愈來愈多的企業(yè)改用創(chuàng)利額來刻劃盈利能力。所謂創(chuàng)利額(邊際貢獻)它等于銷售收入扣除變動成本。上述問題中，只要單位創(chuàng)利額(Pk－UVCk)>0，當Xk>FCk/(Pk－UVCk)時，即可扭虧為盈。因此從數(shù)學(xué)的角度看企業(yè)采用創(chuàng)利額作為盈利能力的度量是有一定道理的。利用創(chuàng)利額代替利潤的另一優(yōu)點是當固定成本不變時，創(chuàng)利額和凈利潤的極大值點是一致的，因此不必收集和處理固定成本方面的信息，從而提高了決策的效率。此外，創(chuàng)利額在預(yù)測、決策、彈性預(yù)算、控制和考核分析中均具有非常重要的作用。由經(jīng)濟定義，創(chuàng)利率(marginal income ratio)為創(chuàng)利額和銷售額之比。根據(jù)前設(shè)，我們令創(chuàng)利額模型為創(chuàng)利額的期望和銷售額的期望之比。
創(chuàng)利額：
MCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)
總創(chuàng)利額：
MC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)
如果我們把機會成本也看成變動成本，則得到廣義的變動成本。我們稱銷售收入扣除廣義變動成本為廣義創(chuàng)利額，則
廣義創(chuàng)利額：
GMCk(Xk,xk)=SRk(Xk,xk)－VCk(Xk)－SCk(Xk,xk)
總廣義創(chuàng)利額：
GMC(X,x)=SR(X,x)－VC(X)－SC(X,x)
與上相同，廣義創(chuàng)利額模型為廣義創(chuàng)利額的期望和銷售額的期望之比。
§4.4 風(fēng)險機理分析與基本模型
風(fēng)險一般是指得與失的機會或可能性，廣義的風(fēng)險可以是經(jīng)濟上的，政治上的，法律上的，或物質(zhì)上的。我們這里所討論的風(fēng)險是指經(jīng)濟方面的。
風(fēng)險不同于危險。前者既有壞的可能性，也有好的可能性；而后者僅有壞的可能性。按決策進行經(jīng)濟活動的結(jié)果總會與期望有一定的偏離，因此不確性是與風(fēng)險有關(guān)的概念，企業(yè)常常在不確定或不完全確定的情況下作出決策。所以，為了將決策分析工作建立在科學(xué)的基礎(chǔ)上，通常把不確定性作為風(fēng)險加以計量，從而便于進行定量分析。我們下面對風(fēng)險的計量及模型化進行探討。
一、風(fēng)險的一般度量
風(fēng)險是指得失的機會或可能性，因而風(fēng)險的度量與數(shù)學(xué)上的隨機變量的度量很接近。一般對風(fēng)險通用的變量是標準離差(Stardard deviation)，風(fēng)險愈大，標準離差也愈大。應(yīng)該注意的是，標準離差是絕對量。由于絕對量缺乏可比性，因而標準離差不能很好地反映出風(fēng)險的全貌。例如，銷量龐大的商品和銷量較小的商品相比。當前者的標準離差大于后者時，無法準確斷定前者的不確定性大于后者。為了較全面地刻劃風(fēng)險，在此再給出一個相對性指標一一變異系數(shù)，它等于標準差和期望之比。變異系數(shù)是反映標準離差在期望附近攝動水平的指標，從而有利于客觀地說明不確定性。另外，還可以用偏態(tài)系數(shù)和峰態(tài)系數(shù)等數(shù)學(xué)概念來共同度量風(fēng)險。
二、風(fēng)險的新度量一一熵
風(fēng)險與不確定性的關(guān)系十分密切。目前國外對風(fēng)險和不確定性這兩個概念沒有明確區(qū)分。但風(fēng)險還有另外一層含意，即風(fēng)險指人們在決策實施之前不能肯定地知道究竟結(jié)果如何，亦即在有風(fēng)險的情況下，決策的結(jié)果具有不肯定性。即使在同一情況下，不同決策的結(jié)果的不肯定性也會有差異。因而應(yīng)當找到一個模型從數(shù)值上度量決策的不肯定性。下面我們來討論適宜度不肯定性的標準。
假設(shè)一項決策只有有限個彼此不相容的結(jié)果A1，…，An，它們相應(yīng)的可能性（先驗概率或主觀概率）是P(A1)，…，P(An)，設(shè)這個度量不肯性的量為H。首先，希望這個量相對于P(A1)，…，P(An)是穩(wěn)定的，即當P(A1)，…，P(An)有微小攝動時，它不會有顯著的變化。因此，這個量應(yīng)該是關(guān)于P(A1)，…，P(An)的連續(xù)函數(shù)；其次，在一般情況下，可能性的結(jié)果會愈多，則不肯定性愈大。因而，至少對決策的幾個等概結(jié)果而言，這個函數(shù)是關(guān)于n單調(diào)上升的；最后，我們希望若干次結(jié)果較少的決策經(jīng)驗?zāi)軌蜻\用到結(jié)果較多的決策上。用數(shù)學(xué)語言講，這個量H應(yīng)滿足以下三個條件：
（i）H是P(A1)，…，P(An)的連續(xù)函數(shù)；
（ii）對n個等概結(jié)果的試驗，H是n的單調(diào)上升函數(shù)；
（iii）一個試驗分成相繼的兩個試驗時，未分之前的H即為分后的H的加權(quán)和。
唯一能夠滿足上述三個條件的函數(shù)就是由申農(nóng)(Shannon)找到的熵函數(shù)。從物理學(xué)角度看，熵是系統(tǒng)內(nèi)部無序程度的度量，這從另一方面說明。用熵來度量決策后果的不肯定性是合理的。由于模型中采用主觀概率預(yù)測，所以應(yīng)該認為此時熵值不僅反映了決策后果的不肯定性，而且反映了決策者對決策事件的不肯定程度。本文定義風(fēng)險熵的概念為：若h是和得與失有關(guān)的隨機變量，則稱h的熵值為其風(fēng)險熵。若h遵從離散分布，則其熵值為：
其中P(Ai)是事件Ai發(fā)生的概率，K是正常數(shù)。若h服從連續(xù)型分布，則其熵值為：
其中P(t)是h的概率密度函數(shù)。當對數(shù)以2，e和10為底時，熵的單位分別為比特(bit)，迪西特(decit)和奈特(nat)，不論單位如何，熵值愈大，說明決策后果的不肯定性也愈大。對于與決策有關(guān)的隨機模型來考慮每個經(jīng)濟模型的熵值可以有利于正確地進行決策。
三、廣義盈虧平衡分析及安全邊際
不得不失是風(fēng)險中的一種極端的狀態(tài)，在經(jīng)濟中稱為盈虧平衡，即利潤為零。對這種臨界狀態(tài)下各種經(jīng)濟量及其關(guān)系的分析稱為盈虧平衡分析（或稱損益分界分析，保本分析等）。一般定義為：盈虧平衡分析是研究固定成本、變動成本和利潤三者關(guān)系的分析技術(shù)，其模型為：
銷量×（價格－單位變動成本）=固定成本
銷量=產(chǎn)量（隱含假設(shè)）
盈虧平衡點=固定成本/單位創(chuàng)利額
其中單位創(chuàng)利額=價格－單位變動成本。與盈虧平衡關(guān)系密切的經(jīng)濟概念有安全邊際(margin of Safety)和安全邊際率，其模型是：
安全邊際=計劃業(yè)務(wù)量（或?qū)嶋H業(yè)務(wù)量）－盈虧平衡點業(yè)務(wù)量
安全邊際率=安全邊際/計劃業(yè)務(wù)量（或?qū)嶋H業(yè)務(wù)量）
在上述條件下盈虧平衡點所提供的創(chuàng)利額恰好彌補固定成本，所以安全邊際所提供的創(chuàng)利額就是利潤。從另一角度看，盈虧平衡點業(yè)務(wù)量所獲得的銷售額正好彌補了全部成本。因此安全邊際和安全邊際率越大越能經(jīng)受市場的沖擊，企業(yè)的經(jīng)營風(fēng)險也越小。
從上述模型中，可以看出幾個問題：
（1）銷量（業(yè)務(wù)量）等于產(chǎn)量（計劃量）的隱含假設(shè)只適用于供不應(yīng)求的情況。
（2）當計劃量不等于實際業(yè)務(wù)量時，安全邊際和安全邊際率不能度量未來的風(fēng)險。因為這樣會得出計劃量愈大，則安全邊際和安全邊際率愈大、決策愈安全的結(jié)論。
（3）模型沒有考慮決策對安全的影響，而且只適合于單品種，價格不變。無機會損失等比較確定的情況。
為了解決上述問題，可以利用廣義利潤的期望來代替一般的利潤，從而得出以下模型：
廣義盈虧平衡模型：
E{GNIk(X,xk)}=0
插圖5.1
廣義盈虧平衡點：
GBEPk={Xk|E[BNIk(X,xk)]=0}
廣義總盈虧平衡模型：
E{GNI(X,x)}=0
插圖5.2
廣義總盈虧平衡超曲面：
GBEP={X|E{GNI(X,x)}=0, X? }
應(yīng)當說明，當缺貨損失為零時，產(chǎn)量等于銷量，并且處理價格等于原價格，則單品種的廣義盈虧模型與盈虧模型完全一致。
對于安全邊際方面，給出一般的模型：
安全邊際：
MSk=yk－GBEPk
安全邊際率：
M/Sk=MSk/yk
其中yk需根據(jù)實際情況來選取，yk的選取原則是：
（1）若商品k供不應(yīng)求，則考慮生產(chǎn)能力或行銷能力的上限為yk。
（2）若商品k供大于求，則考慮取能銷售量的期望為yk。
（3）若商品k供求差異不太大，則考慮取使利潤的（或廣義利潤的）期望值達到最大的生產(chǎn)量或采購量為yk。
將上述三條原則用數(shù)學(xué)語言表述為：
其中 是生產(chǎn)量或行銷量的上限。 是最佳生產(chǎn)量或采購量，
對于多品種的情況，可以根據(jù)幾何直觀構(gòu)造出安全邊際的一個模型：
它的幾何解釋是使廣義利潤的期望最大的決策點到盈虧平衡超曲面的距離。顯然，最優(yōu)解點 離盈虧平衡超曲面愈遠，則經(jīng)營的風(fēng)險愈小，與之相應(yīng)的安全邊際率模型是：
一般情況下，還可以用更簡便的模型代替上述多品種的安全邊際和安全邊際率模型。設(shè) >0，則
其中，
四、成敗風(fēng)險
評價一項決策的成功與失敗總是有一定準則的。我們采用能否實現(xiàn)目標的可能性作為成功或失敗的風(fēng)險的定義，進而可以給出度量成敗風(fēng)險的模型：
P{h<G}或P{h3G}
其中h是隨機變量，可以和決策X有關(guān)。G是決策者給出的目標值。我們可以提出一系列目標如目標利潤、目標銷售量、及目標成本等，都可通過這個模型來度量成敗的可能性。
§4.5 時間機理分析與基本模型
經(jīng)濟活動無一例外地在一定時間與空間中進行。在經(jīng)濟實踐中，對于同一數(shù)額的貨幣，總是現(xiàn)在收入優(yōu)于將來收入。而現(xiàn)在支出劣于將來支出。所以時間因素對經(jīng)濟收益的評價是有影響的。對于我們所討論的原型，從開始實施決策到?jīng)Q策完成大致分成四期：生產(chǎn)預(yù)備期、生產(chǎn)期、銷售期和處理期。由于各種成本和銷售收入是在不同時期發(fā)生的，不考慮時間因素就難以評價決策的優(yōu)劣。另外，由于與時間有關(guān)的成本多為固定成本，故時間因素與品種選擇的關(guān)系密切。
西方經(jīng)濟實踐中常用所謂時間價值(time Value)來調(diào)整不同時刻的收入或支出的價值。關(guān)于時間價值這個概念在西方也莫衷一是。例如管理會計學(xué)中認為：投資者進行投資就必須推遲消費，其耐心的報酬與推遲消費的時間成正比，單位時間（一般指一年）的這種報酬的投資的百分率稱為時間價值。而凱恩斯等西方著名經(jīng)濟學(xué)家認為：時間價值的量很大程度上取決于流動偏好(Liquidity Prenference)，消費傾向(Propensity to Consume)等心理因素。還有人認為：時間價值是由物價上漲、風(fēng)險和盈利能力等因素所形成的，彌補付款與收款的時間差的價值。馬克思雖然沒有定義時間價值，卻精辟地指出所謂”耐心的報酬”就是剩余價值，而利潤則是剩余價值的轉(zhuǎn)化形態(tài)。馬克思還科學(xué)地指出：在利潤不斷資本化條件下，資本積累應(yīng)按復(fù)利方法計算。據(jù)此，有學(xué)者認為資本主義的時間價值是沒有風(fēng)險和通貨膨脹條件下的社會平均資本利潤率。[33] 時間價值是按復(fù)利方式計算的，所謂復(fù)利(Compound interest)方式指本金加上以前未支付的利息的計算方式。假設(shè)ｌ為計息年數(shù)；i為時間價值（年率），F(xiàn)V是終值(futune Value)，PV是現(xiàn)值(Present Value)，則有以下公式：
本利和模型：
FV=PV(1＋i)
貼現(xiàn)模型：
PV=FV/(1＋i)
本利和模型表示如果現(xiàn)值為PV，時間價值為i，則ｌ年后可以收到終值FV。貼現(xiàn)模型表示如果在ｌ年后收到終值FV，則可折合成現(xiàn)值PV。由于以上兩個模型在實際應(yīng)用中不方便，財會上一般使用復(fù)利系數(shù)表 )和貼現(xiàn)系數(shù)表 。
由于我們需要考慮任意時點的收入與支出的貼現(xiàn)問題，所以財會模型不能勝任，為此引入瞬時時間價值：
d= (1+i）
于是對任意時刻t30時，若終值為FV(t) ,則現(xiàn)值為：
同理，若現(xiàn)值為PV，則終值
我們沿用財會的習(xí)慣，稱 和 分別為t時刻的貼現(xiàn)因子和復(fù)利因子。若收款或付款序列為：FV(tk), tk30,k=1,… ，則對任意的t30，折成t時刻的價值：
特別地：
V(0) =PV, V(t )=FV
如果支出或收入可以近似為連續(xù)流FV(t)，0￡T1￡t￡T2，則可得
類似地，如果我們以時刻ST為標準時刻則有
有了這些基本模型可以把成本和銷售收入等各項收支用統(tǒng)一的時刻來討論，一般說來，均勻連續(xù)流的處理比求和方便些，例如：若在（T1，T2）內(nèi)的總銷售額為SR，則其標準值模型為：
在上述模型中應(yīng)注意時間量綱，例如當時間價值以年為單位時間時，可取1/365，1/12，1/4為轉(zhuǎn)換因子則可把天、月、季度折成年，利用上述模型可以把不同時刻發(fā)生的收入和支出統(tǒng)一到標準時刻上來。
時間價值是客觀存在的經(jīng)濟范疇，因此應(yīng)當予以重視。我們認為可以考慮經(jīng)濟發(fā)展的速度(GDP增長率），結(jié)合銀行信貸利率和本企業(yè)的盈利水平來確定時間價值。
§4.6 約束問題與基本模型
從事經(jīng)濟活動總會受到一定的限制。所謂尋找最佳的決策也是指在一定的客觀條件下，在可行解中尋找最佳。一般約束主要有生產(chǎn)能量約束、購銷能量約束等，我們在此給出最簡單的模式。
在我們的模型里生產(chǎn)能量約束是指在正常條件下，可以投入或產(chǎn)出的數(shù)量。產(chǎn)出量指在一定的時間內(nèi)，生產(chǎn)企業(yè)所能生產(chǎn)出的產(chǎn)品數(shù)量；投入量指在一定的時間內(nèi)企業(yè)所能使用的直接勞動小時和投入原材料的數(shù)量。我們生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品K需要耗用數(shù)量為a ik的某種資源i（aik可以是負數(shù)，這時表示生產(chǎn)一個單位的產(chǎn)品k會有副產(chǎn)品aik），若資源i的生產(chǎn)能量為bi,則約束模型為：
ai1X1＋ai2X2＋…＋ainXn￡bi
購銷能量約束則指在一定的市場環(huán)境下，一定的時期里，一定的行銷努力下，可以購入和售出的能量。其中包括訂貨能量、包裝能量、運輸能量、存儲能量、服務(wù)能量等等，與上相仿，假設(shè)約束仍是線性的。我們設(shè)約束集合為：
R={X|AX￡b, X30}
其中Amxn是技術(shù)經(jīng)濟系數(shù)矩陣，bmx1是資源限。應(yīng)當指出其它類型的線性約束也可以化成上面的形式。例如，把國家的指導(dǎo)性計劃作成約束模型，則可能是上限約束，下限約束或二者皆有的線性模型。這時經(jīng)濟解釋有區(qū)別。
§4.7 導(dǎo)出模型及模型的派生方式
導(dǎo)出模型是根據(jù)基本模型經(jīng)過推導(dǎo)或證明得出數(shù)學(xué)模型。雖然導(dǎo)出模型的經(jīng)濟解釋不如基本模型那樣直觀淺顯，但理論層次和實用性方面都高于基本模型。我們假設(shè)：能銷售量x1，…，xn是相互獨立的連續(xù)型隨機變量，其邊緣密度和邊緣分布分別為fk(·, Pk)和Fk(·,Pk)，且Exk和Dxk均存在。在此假設(shè)下，經(jīng)過頗為復(fù)雜的推導(dǎo)及證明，我們可以得到下列模型：
（1）銷售額的期望：
（2）銷售額的方差：
（3）銷售額的變異系數(shù)：
（4）銷售額的熵值：
（5）實現(xiàn)目標銷售額G1的可能性：
（6）過剩損失的期望：
（7）過剩損失的方差：
（8）過剩損失的變異系數(shù)：
（9）過剩損失的熵值：
（10）過剩損失不超過目標G2的可能性：
（11）缺貨成本的期望：
（12）缺貨成本的方差： （13）缺貨成本的變異系數(shù)：
（14）缺貨成本的熵值：
（15）缺貨成本不超過G3的可能性：
（16）廣義變動成本的期望：
（17）廣義變動成本的方差：
（18）廣義變動成本的變異系數(shù)：
（19）廣義變動成本的熵值：
（20）廣義變動成本不超過目標G4的可能性：
（21）創(chuàng)利額的期望：
（22）創(chuàng)利額的方差：
（23）創(chuàng)利額的變異系數(shù)：
（24）創(chuàng)利額的熵值：
（25）創(chuàng)現(xiàn)目標創(chuàng)利額G5的可能性：
（26）期望創(chuàng)利率：
（27）廣義創(chuàng)利率的期望：
（28）廣義創(chuàng)利額的方差：
（29）廣義創(chuàng)利額的變異系數(shù)：
（30）廣義創(chuàng)利額的熵值：
（31）實現(xiàn)廣義目標創(chuàng)利額G6的可能性：
（32）廣義創(chuàng)利率：
（33）廣義成本的期望：
（34）廣義成本的方差：
（35）廣義成本的變異系數(shù)：
（36）廣義成本的熵值：
（37）廣義成本不超過目標G7的可能性：
（38）利潤的期望：
（39）利潤的方差：
（40）利潤的變異系數(shù)：
（41）利潤的熵值：
（42）實現(xiàn)目標利潤G8的可能性：
（43）期望利潤率：
（44）廣義利潤的期望：
（45）廣義利潤的方差：
（46）廣義利潤的變異系數(shù)：
（47）廣義利潤的熵值：
（48）實現(xiàn)目標廣義利潤額G9的可能性：
（49）廣義利潤率：
上述模型中，期望模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟量的最合理的平均值；方差模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟理的不確定性；變異系數(shù)表示在決策Xk下該經(jīng)濟量在期望附近攝 動的水平；熵值模型表示在決策Xk下該經(jīng)濟量的不肯定性；可能性模型則表示在決策Xk下該經(jīng)濟量實現(xiàn)或不超過目標的概率，由上述期望模型和Xk之比，可以得到平均（單位）經(jīng)濟量的模型。由上述期望模型的導(dǎo)數(shù)可以得到Xk點的邊際經(jīng)濟量的模型。此外，還可以由廣義利潤的期望得出廣義盈虧平衡點，并由致得出廣義安全邊際和廣義安全邊際率。與管理會計不同的是盈虧平衡點可能不唯一。
讀者可能已注意到模型還沒有考慮時間價值和稅賦，我們現(xiàn)在給出考慮這兩個因素的方式。對于前者，我們要求在收集成本信息時已將NC，JFC，SFCk，UVk等成本信息進行時間價值處理了。若銷售期望初為BTk，銷售期末為CTk，標準時刻為ST，則貼標準時的價格為 貼標準時的處理價格為 。對于后者，可先將稅金分為兩類：其一為固定稅FTAXk，另一類為變動稅VTAXk，把稅看成是成本，則可完全套用上述模型。
至于多品種情況的模型，由概率論的知識可知：隨機變量和的期望等于期望的和。故易得期望模型；隨機變量相互獨立時，隨機變量和的方差等于方差的和，故易得方差模型；利用隨機變量和的分布函數(shù)公式，可以得出可能性模型；利用隨機變量相互獨立時，聯(lián)合密度等于邊緣密度之積及對數(shù)的性質(zhì)，易證隨機變量和的熵等于熵的和，故易得熵的模型。鑒于多品種模型不難由單品種模型中導(dǎo)出，在此恕不贅述。
第五章 運籌學(xué)模型
在第四章銷售機理模型化過程的基礎(chǔ)上，給出了多目標多指標模型的一般形式，并對單目標最優(yōu)解的性質(zhì)進行了分析，指出了各種經(jīng)濟量對數(shù)量決策的影響，此外研究了非線性共軛對偶理論的應(yīng)用，并討論了廣義創(chuàng)利額的期望最優(yōu)化模型。
§5.1 多目標一多指標模型及單目標最優(yōu)解的性質(zhì)
多目標數(shù)學(xué)規(guī)劃模型是經(jīng)濟分析中常用的一種模型，使用這種模型時，可以根據(jù)使用者的偏好在導(dǎo)出模型中選取目標函數(shù)。作者認為由于在多目標模型中目標數(shù)目愈多，計算愈復(fù)雜，因此應(yīng)該精選較少的經(jīng)濟量來作為目標，把其余的經(jīng)濟量列為指標。這樣既可以滿足決策者多方面的愿望，又可以減小實現(xiàn)模型的難度。
多目標一多指標模型的一般形式為：
其中f(x)=(f1(x),…fp(x))T是目標向量函數(shù)，I(x)=(I1(x),…Iq(x))T是指標向量函數(shù)，R是變量約束集合。應(yīng)當指出I(x)不參加優(yōu)化，即調(diào)整權(quán)系數(shù)時對指標沒有影響，但此時應(yīng)參考指標來調(diào)整權(quán)系數(shù)。
下面我們考慮利用單目標模型來討論最優(yōu)解的經(jīng)濟解釋。假設(shè)規(guī)劃模型的形式為：
其中，
由Kuhn-Tucker定理，（GMC）有最優(yōu)解的充分且必要的條件是存在 滿足：
其中，
當A=0時，K-T條件變?yōu)椋?br /> 顯然，如果 是有限最優(yōu)解，則對任一 有兩種情況：
（1） =0
這時，必有Pk-UVCk+USCk￡0，其經(jīng)濟解釋是單位變動成本高于單位價格加單位缺貨損失。則以不生產(chǎn)為佳。
（2） >0
這時，必有 。由于分布函數(shù)是單調(diào)函數(shù)，所以當右端大于零且小于1時，反函數(shù)是存在的。而右端的經(jīng)濟解釋是，當 <1時，即處理價格不能提供正的創(chuàng)利額時，存在有限的最優(yōu)解；否則商品k的最優(yōu)解可以是無窮大。另外，應(yīng)該注意到 是否小于1與USCk沒有關(guān)系，這就說明機會成本（缺貨成本）在創(chuàng)利額模型中的作用與其它成本有質(zhì)的區(qū)別。它的作用遠小于過剩損失，而不象憑直觀想象的那樣，缺貨損失與過剩損失是作用相近的兩個經(jīng)濟損失。從數(shù)學(xué)上說，USCK?[0,+￥)而(Pk-DPk)?(0,PK]，這也說明了單位缺貨損失與單位過剩損失是性質(zhì)不同的兩個量。
從上述討論可知，當(Pk-UVCk+USCk)/(Pk-DPk+USCk)=Rk?(0,1)時，最優(yōu)解為 。下面我們對最優(yōu)解X的靈敏度進行分析。一般說來，若Fk(Xk，Pk)關(guān)于Xk是嚴格單調(diào)上升的，則反函數(shù) 關(guān)于Rk也是單調(diào)上升的。而且，若 關(guān)于Xk的導(dǎo)數(shù) 則 關(guān)于Rk的導(dǎo)數(shù)為 因此，可以由上述公式研究最優(yōu)解關(guān)于Rk的變動率，或彈性。對于Rk而言，價格Pk、處理價格DPk，單位變動成本UVCk和單位缺貨成本USCk的乘數(shù)是不一樣的。其表達式如下：
根據(jù)這些乘數(shù)我們可以分析出各經(jīng)濟量對最優(yōu)解的靈敏度。應(yīng)該指出，雖然 ，但由于 與Pk有關(guān)，因此它們的變動對最優(yōu)解的影響不一樣，考慮到價格因素在模型中的地位特殊，在這里還需要單獨討論。
根據(jù)前面假設(shè)，能銷售量xk的數(shù)學(xué)期望Exk是關(guān)于Pk單調(diào)下降的凸函數(shù)，這個數(shù)學(xué)假設(shè)的經(jīng)濟解釋是：隨著價格Pk的增加，能銷售量下降的幅度遞減。也就是說，隨著價格Pk的下降，能銷售量增加的幅度遞減。因此，供不應(yīng)求時，價格向上浮動對 的影響大于供求均衡或供過于求的時候；供過于求時，價格向下滑動對F-1(Rk,Pk)的影響小于供求平衡或供不應(yīng)求的時候。
我們不難看出理想最優(yōu)解的另一經(jīng)濟解釋是當能銷售量xk小于Xk的可能性恰好等于Rk=(Pk-UVCk+USCk)/(Pk-DPk+USCk)時,Xk使期望獲得的創(chuàng)利額最大。換句話說，當缺貨的可能性和過剩的可能性分別為1-Rk和Rk時，可以使創(chuàng)利額的期望最大。至此，我們分析了最優(yōu)解的幾個性質(zhì)，下一節(jié)還要研究與最優(yōu)解密切相關(guān)的另一種解—對偶解。
§5.2 共軛對偶理論的應(yīng)用與經(jīng)濟解釋
Von Neumann(1947)將對偶概念引入線性規(guī)劃后，由Gale Kuhn Tucker等精確和推廣了對偶概念的表達形式。人們發(fā)現(xiàn)對偶理論不僅在數(shù)學(xué)上是完整的，而且有著深刻的經(jīng)濟背景。這一切激勵著人們探索非線性規(guī)劃的對偶理論，但直到六十年代后期凸規(guī)劃的對偶理論才逐步形成，這方面的理論正日益受到人們的重視。
一般說來，非線性規(guī)劃的數(shù)學(xué)性質(zhì)與線性規(guī)劃的性質(zhì)相仿，而且線性規(guī)劃的結(jié)果只是非線性規(guī)劃的推論。下面按照所謂現(xiàn)代的方式，把非線性規(guī)劃和其參數(shù)的微小攝 動相聯(lián)系，用共軛映射誘導(dǎo)模型的對偶問題。這種方式既適于可行解和最優(yōu)解的存在性和特征的研究，也適于研究最優(yōu)解對于參數(shù)攝動的靈敏度。限于篇幅，我們只討論在優(yōu)化創(chuàng)利額中對偶理論的應(yīng)用。
假設(shè)規(guī)劃問題(GMC)：
max E{GMC(X,ξ)}
(GMC) s.t. AX￡b,X30
其中，目標函數(shù)為：
不難證明E{GMC(X,ξ)}是一個可微的凹函數(shù)。可行解集合：
R={X|AC￡b,C30}
我們將E{GMC(X,ξ)}拓廣到En，得到新的凹函數(shù)：
我們在約束條件中引入攝動變量w、g，得到函數(shù)：
其中，w和g分別是m維和n維的向量。不難驗證，規(guī)劃問題(GMC)和下面的無約束規(guī)劃問題等價，
（P4） max ?(x,0,0)
x?En
我們考慮?(C,w,g)的共軛函數(shù)?*（m,l,b)，它的變量與?的變量完全不同，即?*是另一空間（對偶空間）里的函數(shù)，其定義為：
其中m,l和b分別是n維，m維和n維的向量，由上式可得，
?*(u,l,b)+?(x,w,g)￡uTx+lTw+bTg
取m=0,w=0和g=0，則有
?(x,0,0)￡-?*(0,lb)
我們定義（P?）的對偶規(guī)劃為：
可以證明以下結(jié)論：
（1）（P?）是求極大的凹規(guī)劃。（D*?）是求極小的凸規(guī)劃；（D*?）中沒有（P?）的變量，反之亦然；（D*?）的對偶規(guī)劃是（P?）。
（2）（P?）的目標值永遠小或等于（D*?）的目標值；若（P4）的最優(yōu)解存在，則（D*?）的最優(yōu)解也存在，反之亦然；而且可以由對方的攝動函數(shù)的次梯度得出。如果其一的有限最優(yōu)值存在，則另一個的最優(yōu)值與之相等。
我們把具體的目標函數(shù)和約束代入共軛函數(shù)，就得到
我們以供不應(yīng)求的情況為例，推導(dǎo)（GMC）的對偶規(guī)劃。因為發(fā)生過剩概率為零，所以
E{GMC(x,ξ)}=(P-UVC)TX
其中，P=(P1,P2,…,Pn)T,UVC=(UVC1,UVC2,…,UVCn)T。代入上式，
于是，我們得到對偶規(guī)劃
min-lTb
s.t. -ATl+b=P-UVC
l￡0
b￡0
取y=-l,則得到(GMC)的顯式的對偶：
(DGMC) min yTb
s.t. ATy3P-UVC
y30
(GMC)的經(jīng)濟原型是如何最優(yōu)地配置資源使企業(yè)獲得最大的創(chuàng)利額，(DGMC)的原型是如何恰如份地評價資源使資源能充分利用。顯然，這兩個原型也是”對偶的”。我們知道，約束矩陣A的元素aij是技術(shù)經(jīng)濟系數(shù)，aij表示產(chǎn)出一個單位的商品j，需要耗用資源i的數(shù)量。因此，矩陣A的第j列表示產(chǎn)出一個單位的商品j所需要的各種資源的數(shù)量。于是，對偶規(guī)劃（DGMC）中的約束：
ATy3P-UVC, y30, y=(y1,y2,…,ym)T
中的y可以視為m種資源的”價格”，對企業(yè)而言，每生產(chǎn)一個單位的商品j需付出”成本”：
不言而喻，這種所謂的”價格”和”成本”不是真實的市場價格和生產(chǎn)成本，國外一般稱這種價格為影子價格(Shadow Price)，其有兩層含意：一是在確定的資源配置下的機會成本。即影子價格是資源對經(jīng)濟收益的潛在貢獻。二是為了優(yōu)化產(chǎn)出的價值而對每一種生產(chǎn)能量所分配的價值。即在一種特殊情況下，賦予稀缺資源的單位經(jīng)濟價值。利用影子價格y計算出的商品j的單位成本稱為隱含成本(imputed cost)。隱含成本也是一種機會成本。
從數(shù)學(xué)的角度看，如果(GMC)的某個資源約束是松的，則其相應(yīng)的影子價格為零；即使此資源約束是緊的，其影子價格也會受其它約束的制約。更重要的是影子價格反映的是在約束向量b點的局部性質(zhì)，因此，把(GMC)的對偶最優(yōu)解 視為價格或成本時，應(yīng)當慎重。例如，某種資源的價值不低，但由于企業(yè)的儲備量比較充裕，則會把它的價值估得很低，甚至認為其價值為零，這顯然是不合理的。此外，只用m種資源的利用情況估算產(chǎn)品的成本也是不夠全面的。
對偶最優(yōu)解y的經(jīng)濟解釋還可以從數(shù)學(xué)推導(dǎo)中得到啟發(fā)。如果我們把(GMC)的第i個資源量bi改為bi+1（其余不變），則得到一個新的規(guī)劃(GMC’)，后者的最優(yōu)值和前者的最優(yōu)值之差恰好是(DGMC)的最優(yōu)解 的第i個分量 i。這個有趣的事實可以解釋為：在資源約束AX￡b和單位獲利能力(P-UVC)之下，如果增加一個單位的資源i，則會獲得數(shù)量為 i的創(chuàng)利額。根據(jù)這種觀點，(GMC)的對偶最優(yōu)解 就是資源的邊際貢獻。雖然人們看待對偶最優(yōu)解的方式可能不同，但在分析是否應(yīng)當供應(yīng)或減少某種資源時，考慮它還是有益處的。
非線性的經(jīng)濟解釋與線性的有相仿之處。區(qū)別在于有關(guān)理論的層次高于線性規(guī)劃。為了能稍深入地討論問題，我們引入攝動函數(shù)的概念和穩(wěn)定的概念，假設(shè)
原有攝動函數(shù)：
對偶攝動函數(shù)：
可以證明，F(xiàn)是正常凹函數(shù)。我們稱(GMC)是穩(wěn)定的。如果次梯度合理JF(0,0)是非空集合。穩(wěn)定的含意是 有限且攝動函數(shù)F(w,g)在零點不會無限地增大，或(GMC)的最優(yōu)值是-￥。由非線性規(guī)劃的對偶理論有以下結(jié)論[2]:
（1）?*(0,l,b)=F*(l,b)
（2）設(shè)F(0,0)有限，則規(guī)劃 有最優(yōu)解 ，且
的充要條件是(P?)是穩(wěn)定的。此外， 是攝動函數(shù) 在零點的次梯度的充要條件是上式成立。
（3）若 是閉正常凹函數(shù)，則
（4）若?是閉正常凹函數(shù)，且設(shè)j（0）有限，則規(guī)劃（P?）有最優(yōu)解 ，且
（5）若?是閉正常凹函數(shù)，則（P?）是穩(wěn)定的且有最優(yōu)解 的充要條件為 是穩(wěn)定的且有最優(yōu)解 。
根據(jù)上述結(jié)論和前面對于對偶最優(yōu)解的經(jīng)濟討論，我們引入一個新的數(shù)學(xué)概念一一擬對偶最優(yōu)解，其定義為：
yi(di)=[M(b+di×ei)-M(b)]/di
其中di是一正數(shù)，ei是m維向量，其第i個分量是1，其余為0。M(·)是一極值映射，定義為：M(b)=sup{E{GMC(x,ξ)}|Ax￡b,x30}。一般說來di愈小,yi(di)就愈接近對偶最優(yōu)解。顯然，擬對偶最優(yōu)解表示創(chuàng)利額關(guān)于資源的變動率。由此看出，對偶最優(yōu)解 和bi的乘積恰好是在決策為 時創(chuàng)利額在資源b點關(guān)于bi的彈性。至此，我們運用共軛對偶理論分析了創(chuàng)利額的經(jīng)濟模型，并給出了一些經(jīng)濟解釋。
勿須諱言，非線性規(guī)劃理論在經(jīng)濟中的應(yīng)用是有限的，其原因之一是太數(shù)學(xué)化。我們引入擬對偶解的目的在于增加對偶理論的實用性。需要指出，拉格朗日乘子常和對偶最優(yōu)解是一致的。因此，可以通過Kuhn-Tucker條件去求對偶最優(yōu)解。不過這經(jīng)常是困難的。
第六章 經(jīng)濟控制論模型
§6.1 系統(tǒng)論方法
一、基本思想
十九世紀的科學(xué)發(fā)展的突出特點是摒棄了目的范疇；致力于把數(shù)學(xué)方法與實驗方法結(jié)合起來；并以還原論作為方法論。雖然近代科學(xué)在研究簡單系統(tǒng)的物質(zhì)運動方面取得了成功，但是面對復(fù)雜系統(tǒng)提出的諸多問題仍然束手無策。一般系統(tǒng)論的創(chuàng)立，正是在這種背景下應(yīng)運而生的。系統(tǒng)論的特點在于用系統(tǒng)的觀點去看待世界，其研究對象是復(fù)雜系統(tǒng)。
系統(tǒng)論和物理主義的區(qū)別是什么呢？從方法論的角度看有三個重要不同點：
1）思辯原則代替實驗原則
物理主義認為，自然科學(xué)可以分成經(jīng)驗（實驗）和理論（數(shù)學(xué)）兩個部分，但系統(tǒng)論卻使之徹底改觀。今天，在分析和研究復(fù)雜系統(tǒng)時，實驗員被在計算機上模擬系統(tǒng)的數(shù)學(xué)家代替，理論家則被精通被研究對象并能解釋計算機實驗結(jié)果的經(jīng)驗家代替。我們需要這類思辯實驗并非由于實驗設(shè)備不完善，而是由于被研究對象是復(fù)雜系統(tǒng)。對整個復(fù)雜系統(tǒng)進行經(jīng)典意義下的實驗，無疑是荒誕的。例如，社會經(jīng)濟系統(tǒng)在時空上不斷變化，結(jié)構(gòu)又極其錯綜松散，因此難以進行全面的模擬。
2）整體論代替還原論
物理主義的基本原則之一是還原論。即在研究整體時先將整體分解成若干部分，然后研究諸部分的性質(zhì)，再從中可以確定整體的性質(zhì)。然而復(fù)雜系統(tǒng)與簡單系統(tǒng)的一個重要的區(qū)別就在于，它不遵從還原論。例如，即使我們熟知每個社會基本單位一一家庭的結(jié)構(gòu)，也不能解釋社會行為和倫理。
3）目的論代替因果論
物理主義建立在自然定律的基礎(chǔ)上。其因果定律源于對簡單系統(tǒng)的大量實驗，并通常珍述成簡單的數(shù)學(xué)形式。因而欲推翻某一定律，只須做出一個不符合該定律的實驗即可。但是復(fù)雜系統(tǒng)卻不一樣，它的許多特性是相互關(guān)聯(lián)的，因而反映系統(tǒng)個別特性的模型可能與系統(tǒng)本身不相容。
那么，什么是系統(tǒng)的定律呢？目的論的答案只有在對復(fù)雜系統(tǒng)有關(guān)目的性的行為作出假定后，才有可能對其特性進行簡單的解釋，乃至得到用數(shù)學(xué)形式表達的定律。
二、基本概念
下面我們對系統(tǒng)論的基本概念作一個描述性的說明。在”系統(tǒng)”一詞被通俗化的今天，尤其有這個必要。需要說明的是，我們與其說是在形式化的定義，還不如說是解釋性的定義。
首先，系統(tǒng)指的是由相互作用的和相互依賴的若干組成部分結(jié)合而成的具有特定功能的有機整體。由于客觀世界的層次結(jié)構(gòu)，某個系統(tǒng)本身是它所從屬的一個更大的系統(tǒng)的組成部分，同時，該系統(tǒng)本身又具有自己的諸要素的體系。系統(tǒng)是由結(jié)構(gòu)和行為來決定的。對系統(tǒng)學(xué)來說，結(jié)構(gòu)和行為就象物理學(xué)中的空間和時間一樣，是一種極為基礎(chǔ)的概念。在系統(tǒng)論里，系統(tǒng)的行為理解為系統(tǒng)隨時間的動作，而系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)則理解為對系統(tǒng)要素間的聯(lián)系在時間上不變的規(guī)定。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)隨時間的變化可看作是系統(tǒng)的演化。系統(tǒng)結(jié)構(gòu)可劃分成兩種：形式結(jié)構(gòu)和非形式結(jié)構(gòu)。形式結(jié)構(gòu)指的是直接把位于下一層次水平上的系統(tǒng)看作不可分割的要素。非形式結(jié)構(gòu)指的則是?quot;原始”要素作為系統(tǒng)的要素。顯然，系統(tǒng)結(jié)構(gòu)是一個相對性的概念。因此，在系統(tǒng)結(jié)構(gòu)概念基礎(chǔ)上定義”復(fù)雜系統(tǒng)”是非常困難的，有時甚至是不可能的。由于這個緣故，有時盡力避開系統(tǒng)結(jié)構(gòu)這個概念，而利用系統(tǒng)行為這個概念。憑直覺可以看出，系統(tǒng)行為的復(fù)雜性的增加（至少要到個體這個水平）是與系統(tǒng)非形式結(jié)構(gòu)復(fù)雜性的增加聯(lián)系在一起的。因此我們可以用系統(tǒng)行為的復(fù)雜性來確定系統(tǒng)的復(fù)雜性。
為了闡明”復(fù)雜系統(tǒng)”這個概念，我們先定義”決策行動”。決策行動指的是選擇備選方案，其中也包括利用隨機機制進行選擇（就是說，這時完全不必是理智選擇）。當系統(tǒng)的行為本來就是決策行動時，這樣的系統(tǒng)就叫做決策系統(tǒng)。如果系統(tǒng)中至少有一個決策系統(tǒng)作為子系統(tǒng)，則該系統(tǒng)就稱為復(fù)雜系統(tǒng)。不具備決策行動的系統(tǒng)，就稱為簡單系統(tǒng)。特別地，決策系統(tǒng)本身就是復(fù)雜系統(tǒng)。我們隱含地認為：一切系統(tǒng)力圖達到對它來說的最佳狀態(tài)。這就稱為系統(tǒng)的趨的行動，并稱這個狀態(tài)為系統(tǒng)的目的。而只有復(fù)雜系統(tǒng)才具有目的。
其次，我們結(jié)合系統(tǒng)論對模型作一個回顧。按系統(tǒng)屬性，系統(tǒng)可劃分成物質(zhì)系統(tǒng)和符號系統(tǒng)。符號系統(tǒng)在某種程度上能夠反映物質(zhì)系統(tǒng)。符號系統(tǒng)可稱為系統(tǒng)的符號模型。非符號模型（物質(zhì)系統(tǒng)在同一物質(zhì)系統(tǒng)中的反映）叫做類比模型。由于在系統(tǒng)學(xué)中往往只討論符號模型，因此就把符號模型簡稱為模型。系統(tǒng)學(xué)不僅研究現(xiàn)有物質(zhì)系統(tǒng)的模型，還研究現(xiàn)實物理世界中可實現(xiàn)系統(tǒng)的模型（可實現(xiàn)模型）。此外，為了解釋和（或）預(yù)測復(fù)雜系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和（或）行為，在觀測誤差的范圍內(nèi)往往可能建立起來幾個模型。
再次，對于許多類型的系統(tǒng)來說，關(guān)于規(guī)律或多或少具有普遍性這個觀點是與其適用的范圍聯(lián)系在一起的。物理主義發(fā)現(xiàn)的還只是自然界中簡單的普遍自然定律，其原因就在于，它所研究的簡單系統(tǒng)的諸性質(zhì)在實際上是相互獨立的。因此，簡單系統(tǒng)的這些單獨性質(zhì)的仿真模型與簡單系統(tǒng)本身是完全相符的。
復(fù)雜系統(tǒng)與簡單系統(tǒng)不一樣，它具有本質(zhì)上聯(lián)系的眾多性質(zhì)。所以，復(fù)雜系統(tǒng)單個性質(zhì)的仿真模型與復(fù)雜系統(tǒng)是不完全相符的。復(fù)雜系統(tǒng)的眾多性質(zhì)的仿真模型是非常復(fù)雜的，而且缺乏一般性。
那么，怎樣理解復(fù)雜系統(tǒng)的規(guī)律呢？這里，我們需要討論一下解釋和預(yù)測這兩個概念以及它們與理論和實驗的關(guān)系，在系統(tǒng)學(xué)里，這是需要予以重新陳述的。這是因為，如果復(fù)雜系統(tǒng)與它的仿真模型相符合的程度越高，即模型的復(fù)雜程度越接近原型，則對系統(tǒng)進行預(yù)測的準確性越高，而解釋的質(zhì)量卻越低。在許多情況下，解釋的概念在系統(tǒng)學(xué)中與在物理主義中不同，有著另外的含義。事實上，物理主義遵循還原論，它是依據(jù)盡可能低的系統(tǒng)水平（直到原子、粒子）上的現(xiàn)象來解釋某個系統(tǒng)水平上的現(xiàn)象。與此不同，系統(tǒng)學(xué)解釋現(xiàn)象的基本原則是下面將要闡述的一步遞推原則。
物理主義賦于預(yù)測以傳統(tǒng)的含義，就是由物理定律來預(yù)先確定系統(tǒng)的未來行為或某未來行為發(fā)生的概率。系統(tǒng)學(xué)里則是利用計算機仿真來實現(xiàn)預(yù)測實驗，其實驗就是在比現(xiàn)實世界中快得多的機器時間的進程中進行各種狀態(tài)?quot;抽簽”。為了預(yù)測復(fù)雜系統(tǒng)的行為，在計算機仿真的同時還利用半直覺的專家方法（人一機對話），這就在某種程度上復(fù)活了古代特爾斐預(yù)言家的實踐活動。
三、系統(tǒng)學(xué)的若干基本原則
1、層次組織原則
我們所知道的這部分世界里存在著逐漸產(chǎn)生并相互作用著的三個層次，這就是自然產(chǎn)生的物理生物層次、社會層次以及人工產(chǎn)生的技術(shù)層次。無論是自然系統(tǒng)還是人工系統(tǒng)，層次組織原則均能使它們處于隸屬的地位。例如對物理生物層次來說，其層次水平大致是：原子一分子一細胞一個體一群體一種群一生物群落一生物圈。每當上升到高一極的層次水平時，位于下一極水平上的系統(tǒng)就成為上一級水平系統(tǒng)的要素。層次組織原則在系統(tǒng)學(xué)中得到了廣泛的應(yīng)用。
2、系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則
系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則中目前從經(jīng)驗上已發(fā)現(xiàn)的一些原則如下：
（1）物質(zhì)能量平衡原則（基于守恒定律）；
（2）穩(wěn)態(tài)原則（基于反饋概念）；
（3）決策選擇原則（基于歸納行為）；
（4）前景積極性原則或未來需要原則（預(yù)適應(yīng)，超前反應(yīng)）；
（5）反射原則（超前反映）。
必須指出的是，在某個水平的系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)的行為原則，對更高復(fù)雜性水平的系統(tǒng)來說都是成立的。但是，對于某一個水平系統(tǒng)的行為原則而言，其中起決定作用的仍然應(yīng)該是在這個水平系統(tǒng)中首先發(fā)現(xiàn)的原則。例如，最低水平的系統(tǒng)所固有的物質(zhì)能量平衡原則對所有系統(tǒng)直到高度復(fù)雜的系統(tǒng)都是成立的。但是，這個原則僅只對最簡單的系統(tǒng)才是決定性的。
3、反直覺行為原則
有不少學(xué)者注意到這個原則，它可以陳述如下：僅僅根據(jù)固有經(jīng)驗和直覺來給出相當長時期內(nèi)關(guān)于復(fù)雜系統(tǒng)行為的滿意預(yù)測實際上是不可能的。我們的直覺是在與簡單系統(tǒng)打交道的過程中培養(yǎng)起來的，而簡單系統(tǒng)中各要素的聯(lián)系總是能夠弄清楚的。復(fù)雜系統(tǒng)行為的反直覺性就在于，它對作用的反應(yīng)同我們直覺上期待的結(jié)果比較起來完全是另外一回事。
4、極小極大建模原則
對于復(fù)雜性不斷增加的系統(tǒng)來說，其理論仍然應(yīng)該由最簡單的模型來構(gòu)成。最簡單模型中的每一個模型哪怕是在極小程度上（極?。┒紤?yīng)該反映出復(fù)雜性水平不斷增加的（極大）系統(tǒng)行為。換句話說，模型的形式上的復(fù)雜性（例如，描述模型的方程數(shù)目）不應(yīng)對應(yīng)于系統(tǒng)的非形式上的復(fù)雜性（系統(tǒng)行為的復(fù)雜性）。
由這條原則可以得到一個推論：較復(fù)雜系統(tǒng)的粗糙模型與較簡單系統(tǒng)的較精確模型比較起來可能還要簡單些。這在系統(tǒng)學(xué)中引起樂觀。
因此，為了建立系統(tǒng)（其中包括復(fù)雜系統(tǒng)）的理論模型，就需要前述的系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則的知識。
必須指出的是，這條原則僅提出了要求，除了要援引系統(tǒng)行為復(fù)雜化原則作為建立理論的簡單模型之外，并沒有任何具體的構(gòu)造性建議。
5、不相容原則
根據(jù)近代科學(xué)中養(yǎng)成的習(xí)慣，對現(xiàn)象的理解與對現(xiàn)象作定量分析的可能性是等價的。對于這種可能性，不相容原則增添了限制：對現(xiàn)實系統(tǒng)分析得越深入，那么關(guān)于系統(tǒng)行為的判斷就確定得越少。
6、定律形成原則
與物理主義不同，系統(tǒng)學(xué)完全是在另外的一種邏輯基礎(chǔ)上建立復(fù)雜系統(tǒng)的定律的：先假定可實現(xiàn)模型，從其中用定理的形式引出復(fù)雜系統(tǒng)定律。
推論6-1 定律涉及現(xiàn)有的或未來的自然系統(tǒng)和人工系統(tǒng)。定律能夠解釋自然系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)和行為，并指導(dǎo)建立人工系統(tǒng)。
推論6-2 任何現(xiàn)象都不能推翻或者證實具有演繹性質(zhì)的系統(tǒng)學(xué)定律。
這個斷言應(yīng)該這樣來理解。對現(xiàn)實復(fù)雜系統(tǒng)的實驗與定律之間不一致，僅僅說明現(xiàn)實系統(tǒng)與用來導(dǎo)出定律的那個模型類別不一致，并不是說定律被駁倒。另一方面，即使實驗與定律一致，也無論如何不能把它與定律的證實聯(lián)系在一起。這種一致只說明，關(guān)于現(xiàn)實系統(tǒng)與用來導(dǎo)出定律的那個模型類別相一性的假定沒有被推翻，可以繼續(xù)用作假定。
根據(jù)這條原則，理論是由用數(shù)學(xué)模型的形式表述的假說構(gòu)成的。由這種數(shù)學(xué)模型導(dǎo)出的理論（定律），應(yīng)有可能將其中的部分結(jié)果與所研究原型的某些宜于試驗的特性加以對比。另一部分結(jié)果可用來對原型的相應(yīng)特性進行理論預(yù)測。對于獨一無二的復(fù)雜系統(tǒng)，只有它們的非整體特性才能與理論進行對比。預(yù)測的可信程度取決于理論與容許試驗確定的特性之間相符合的程度。
§6.2 一個宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)的最優(yōu)控制模型
經(jīng)濟現(xiàn)象或經(jīng)濟過程都可以看作由若干相互作用相互依賴的經(jīng)濟要素組合而成的復(fù)雜系統(tǒng)。這里要介紹的就是一個運用系統(tǒng)論和控制論研究宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)的案例。美國人平代克(R.S. Pindyck)在對美國經(jīng)濟運行系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上，于1971年構(gòu)造并提出了一個小型美國的宏觀經(jīng)濟模型，在模型上成功的進行了最優(yōu)穩(wěn)定政策控制實驗，具體研究了財政政策、貨幣政策對美國經(jīng)濟的影響和作用。
一、 建模構(gòu)想和模型結(jié)構(gòu)
為了使仿真模型能夠較好地擬合現(xiàn)實系統(tǒng)又便于進行政策”試驗”，平代克構(gòu)模時的原則是：
1.在系統(tǒng)分析的基礎(chǔ)上合理地確定宏觀經(jīng)濟變量數(shù)量并認真篩選基本宏觀經(jīng)濟變量，掌握好模型的變量與規(guī)模。
2.采用通行的經(jīng)濟理論為指導(dǎo)，使結(jié)構(gòu)更為合理，減少爭議。
3.對于經(jīng)濟變量之間的非線性關(guān)系和時滯問題進行必要調(diào)整或技術(shù)處理，使模型最終化為完全線性化的動態(tài)差分方程。
4.充分利用已有歷史數(shù)據(jù)和先進的統(tǒng)計計量方法，使模型參數(shù)與歷史值盡可能地擬合。
平代克模型最終形式是一個季度經(jīng)濟計量模型，模型選用10個基本經(jīng)濟變量作為內(nèi)生變量和系統(tǒng)的狀態(tài)變量，并以凱恩斯經(jīng)濟理論為基礎(chǔ)構(gòu)造各經(jīng)濟變量之間的關(guān)系和模型結(jié)構(gòu)，模型的參數(shù)設(shè)定采用了美國1955到1968年”現(xiàn)代商業(yè)資料”提供數(shù)據(jù)和自回歸變換協(xié)同最小二乘法。
設(shè)狀態(tài)變量
x1(k)=C(k) 個人消費 單位：10億美元
x2(k)=INR(k) 非住宅投資 單位：10億美元
x3(k)=IR(k) 住宅投資 單位：10億美元
x4(k)=IIN(k) 商業(yè)庫存變動 單位：10億美元
x5(k)=R(k) 短期利率 單位：百分數(shù)
x6(k)=RL(k) 長期利率 單位：百分數(shù)
x7(k)=P(k) 物價水平 單位：1958年水平=100
x8(k)= UR(k) 失業(yè)率 單位：百分數(shù)
x9(k)=W(k) 小時工資 單位：美元
x10(k)=YD(k) 納稅后的可支配收入 單位：10億美元
政策-控制(外生)變量
u1(k)=TO(k) 附加稅 單位：10億美元
u2(k)=G(k) 政府支出 單位：10億美元
u3(k)=DM(k) 在一個季度貨幣供應(yīng)的變化 單位：10億美元
其他外生變量
z1(k)=1.0 對所有K均為常數(shù)
z2(k)=YDP 潛在國民收入
平代克經(jīng)濟計量模型可表為：
x1(k)=-2.368×7 (k)+0.415×10 (k)+0.7596×1 (k-1)+2.368×7(k-1)+8.174×9(k-1)
-0.282×10(k-1)+5.299z1(k-1)
x2(k)=0.157×10(k)+1.336×2(k-1)-0.157×10(k-1)-0.344×2(k-2)-1.356×6(k-5)
+1.356×6(k-6)+0.044×10(k-3)-0.044×10(k-4)
x3(k)=0.0127×10(k)+0.603×3(k-1)-0.55×5(k-2)-0.55×5(k-3)-0.465×10(k-5)+6.65-
2.462z1(k-1)
x4(k)=-0.60×1(k)+0.4763×10(k)+0.422×4(k-1)+0.60×1(k-1)-0.465×10(k-5)-
2.462z1(k-1)
x5(k)=0.479×7(k)+0.0415×10(k)+0.375×5(k-1)-0.479×7(k-1)-0.0344×10(k-1)-
0.165u3(k-1)-0.1473z1(k)
x6(k)=0.06×5(k)+0.0055×10(k)+0.871×6(k-1)-0.0055×10(k-4)+0.313z1(k-1)
x7(k)=-0.0156×10(k)+0.804×7(k-1)+6.28×9(k-1)+0.0195×10(k-1)-0.033×4(k-2)
+14.55z1(k-1)-0.0195z2(k-1)
x8(k)=-0.00043×10(k)+0.805×8(k-1)+0.0024×9(k-1)-0.00003×10(k-1)
+0.00032×10(k-5)+0.0065z1(k-1)+0.00014z2(k-1)
x9(k)=0.0012×10(k)+0.627×9(k-1)-0.0001×10(k-1)+0.011×7(k-3)-0.828×8(k-4)
x10(k)=0.85×1(k)+0.85×2(k)+0.85×3(k)+0.85×4(k)-u1(k-1)+0.85u2(k-1)
將模型在計算機上對1955年第一季度到1969年第四季度期間美國經(jīng)濟進行模擬試驗，這時政策變量中政府費用和貨幣供應(yīng)均取歷史值，附加稅收取零。結(jié)果表明：消費、價格水平、工資率、變動曲線與歷史曲線十分擬合，非住宅投資、短、長期利率軌線也與實際擬合較好，住宅投資、庫存投資和失業(yè)率則擬合較差，問題主要是在設(shè)定庫存投資方程時，為了穩(wěn)定模型，采用了YD和C兩個季度差分，需要加以改進。
二、 模型的最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗
1. 最優(yōu)控制模型
為了使最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗時能直接應(yīng)用最優(yōu)控制理論的有關(guān)結(jié)果，需要對模型作進一步的調(diào)整：
引入新的狀態(tài)變量即附加變量來替代時滯超過一個周期的變量，將動態(tài)方程化為狀態(tài)空間形式：
X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
其中X(k)為28維狀態(tài)向量，前10個分量為已定義的基本經(jīng)濟變量，其余均為附加變量。U(k)為3維控制向量即政策向量，Z(k)為2維外生變量，分別為YDP（潛在可支配收入）和常數(shù)1。A、B、C分別為28′28，28′3，28′2的矩陣，均可以在方程整理過程中推出。
進行優(yōu)化設(shè)計，確定價值函數(shù)的形式：
其中 （t=0，1，…，N）表示第t季度的狀態(tài)向量實際值
（t=0，1，…，N）表示第t季度的狀態(tài)向量的標準值，即理想值
q 為28′28的半正定對角矩陣，其對角線元素為對應(yīng)各經(jīng)濟分量偏離標準軌 線的罰數(shù)，也稱價值參數(shù)，其值大小也體現(xiàn)了政策試驗的目標，附加向量對應(yīng)位置取零
R 為3′3的正定對角矩陣，其對角線元素為各控制變量偏離標準軌線的罰數(shù)，也稱為價值參數(shù)，其值大小也表明試驗采用了什么政策手段
確定模型的初值x0和各標準值（標準軌線）。本例中，初值被定為美國1957年第一季度各經(jīng)濟量的歷史值，狀態(tài)變量和政策變量的標準軌線分別由表1和表2給出。外生變量中，將潛在可支配收入的趨向界限定為可能的國民生產(chǎn)總值GDP的85%，另一外生變量為常數(shù)1。
表1
狀態(tài)變量 標準值取值
從初值起每年增長4%從初值起每年增長6%從初值起每年增長6%從初值起每年增長4%取初值3.1%取初值3.3%從初值起每年增長2%取常數(shù)2%從初值起每年增長6%從初值起每年增長4%
表2
政策變量 標準值取值
0從1956年第四季度實際值開始每年增長4%從初值開始每季增加＄14億，而每年增長4%
最優(yōu)控制問題最終可表述為：
在狀態(tài)方程
X(k+1)=AX(k)+BU(k)+CZ(k)
及初始值條件x(0)=x0的約束下，求解最優(yōu)控制序列
使目標函數(shù)
取最小值。
由于目標函數(shù)為二次的，該最優(yōu)控制模型也稱為線性二次型問題，簡稱LQ(Linenr-Quadratic)問題。最優(yōu)控制序列可以用動態(tài)規(guī)劃方法求解，并在計算機上實現(xiàn)，結(jié)果將是狀態(tài)的線性反饋形式。
2. 最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗
下面將進行多種形式的最優(yōu)穩(wěn)定政策試驗。每次試驗方案都是通過對價值函數(shù)中矩陣q和R的對角線元素的設(shè)定中體現(xiàn)出來。
試驗1 價值函數(shù)定義如下：
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 1 6 15 0 0 0 6 4′106 0 0
TO G DM
R 6 3 300
定義表明：試驗主要通過財政政策手段G討論對YD，W，IIN等各種經(jīng)濟變量作用與影響。
結(jié)果顯示：消費、非住宅投資、住宅投資和可支配國民收入全部運行結(jié)果比標準軌線升高。 失業(yè)率下降大約3%，表明使失業(yè)率下降的唯一途徑是增加GNP。而且高消費、高投資與低失業(yè)率一致。與此同時，約有5%的通貨膨脹率，工資增長率達8-12%之間。迅速上升的GNP促使貨幣需求上升，從而導(dǎo)致利率上升，由模型得到最優(yōu)政策也主要體現(xiàn)在財政手段上，政府費用平均高于標準值60億美元上下，貨幣供應(yīng)略有上升，變化幅度在15億美元左右。
試驗2 價值函數(shù)定義如下：
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 1 6 15 0 0 0 0 4′106 0 0
TO G DM
R 60 3 15
定義表明：試驗將貨幣政策作為達到上次試驗相同目標的手段，與附加稅對應(yīng)的價值參數(shù)增加了10倍。
結(jié)果顯示：可支配國民收入再次上升超過標準線，失業(yè)率也下降大約3%，價格以每年5%的通貨膨脹率迅速上升。這次運行與上次試驗區(qū)別在于在政府費用大小與前期相當、附加稅為負的情況下，最優(yōu)政策可認為是貨幣供應(yīng)有意義的擴充，幅度達到20億美元/季，利率上升幅度不大。
試驗3 價值函數(shù)定義為
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 0 0 0 0 0 0 0 0 0 1000
TO G DM
R 10000 3 30000
定義表明：試驗用一個控制變量來迫使一個內(nèi)生變量保持在標準軌線的情況。
結(jié)果顯示：可支配國民收入幾乎正好確定在標準軌線上，此時政府費用在計劃期大多時間里只略高于標準軌線，說明要達到目的并不需要采用極度的財政政策。當政府費用和可支配收入標準軌線建立在每年4%的增加率的基礎(chǔ)上時與實際經(jīng)濟活動相符，這時失業(yè)率大多數(shù)情況下保持在4.5%的水平。同時經(jīng)濟將經(jīng)歷4-4.5%通貨膨脹率。
試驗4 價格函數(shù)定義為
C INR IR IIN R RL P UR W YD
q 0 0 0 0 0 0 120 4′106 0 0
TO G DM
R 10000 3 300
定義表明：試驗企圖同時用財政和貨幣政策了解適當?shù)耐ㄘ浥蛎浡屎洼^低失業(yè)率之間轉(zhuǎn)換關(guān)系。其中附加稅收參數(shù)設(shè)置取很高的值，目的是將其分解出來，將政府費用作為單一的財政政策手段。
結(jié)果顯示：可支配國民收入呈著上升達每年6%。失業(yè)率下降，在計劃期最后一年達到2%。價格水平增長很快，通貨膨脹率達5.5%，盡管此時貨幣供應(yīng)增長比標準情況要高，但可支配國內(nèi)收入增加主要是政府費用增加的結(jié)果。
此次試驗中價值函數(shù)中通貨膨脹價值參數(shù)2倍于高失業(yè)率的價值參數(shù)，但結(jié)果仍是低失業(yè)率。高通貨膨脹的價格水平的增長率是由于初始的GNP和工資率觸發(fā)的，要使通貨膨脹率回降，應(yīng)采用更為激烈的財政政策，致使相當長時間里產(chǎn)生高失業(yè)率。模型試驗表明要在相當長的時間周期里達到低失業(yè)率要比達到較低通貨膨脹率更容易。
類似地利用最優(yōu)控制模型還可做更多的政策試驗，盡管該模型是一個容量很小而且大大簡化的宏觀經(jīng)濟模型，但仍然可以幫助我們了解到一個極為復(fù)雜的宏觀經(jīng)濟系統(tǒng)運行過程中的動態(tài)行為特征，并提供了有關(guān)穩(wěn)定政策的許多有益的啟示。
第七章 計量經(jīng)濟模型分析
本章主要闡述計量經(jīng)濟模型的整個建模過程，計量經(jīng)濟模型的特點在于首先提出經(jīng)濟假說，然后確立變量之間的因果關(guān)系，最后收集統(tǒng)計資料的基礎(chǔ)上，估計模型參數(shù)，并對其結(jié)果進行檢驗。本章包括計量模型分析的基礎(chǔ)和建立計量模型的一些基本方法。首先討論構(gòu)成計量分析基礎(chǔ)的最小二乘法(OLS ：Ordinary Least Squares)，然后指出在實證分析中運用OLS估計時應(yīng)注意的幾個問題，最后探討計量分析的一些新發(fā)展。
§7.1 經(jīng)濟模型的最小二乘估計
一﹑OLS估計及其性質(zhì)
經(jīng)濟變量之間的關(guān)系通過數(shù)學(xué)化的函數(shù)來表示，就形成了經(jīng)濟模型。根據(jù)觀察到的數(shù)據(jù)對給出的函數(shù)關(guān)系進行統(tǒng)計分析的方法稱為回歸分析。假設(shè)根據(jù)經(jīng)濟理論，變量Yt依賴于k個變量Xit (i =1,2,…k),且Yt和Xit 之間有如下的線性關(guān)系成立
Yt =b1X1t ＋b2X2t ＋…＋bkXkt ＋ut t=1,2,…,n (1)
例如上述模型中Yt 可以看成貨幣需求而把Xit 看成GNP、利率、匯率、通貨膨脹率。模型中Yt、Xit 分別稱為被解釋變量和解釋變量。另外模型（1）中包含隨機誤差項ut，簡而言之,ut被認為對于Yt的變化Xit不能解釋的微小變動的全部，或者說沒有在模型中明確表示的所有影響Yt因素的總和。如果ut=0，Yt成為Xit的線性函數(shù)，但是Yt一般同隨機誤差項ut有關(guān)，由于ut是未知回歸平面同觀測值Yt的差，實際上我們無法得到ut的真正數(shù)據(jù)，即使這樣它在模型中起的作用是任何其它變量所不能替代的，可以說隨機誤差項的引進才使得經(jīng)濟模型的識別成為了可能?；貧w分析是指根據(jù)觀察數(shù)據(jù)，求得模型中參數(shù)bi的估計值，同時檢驗Yt和Xit的關(guān)系是否的確如（1）所假設(shè)線性關(guān)系的整個過程。
考慮未知參數(shù)的函數(shù)
求出參數(shù)(b1,b2…bk)的估計量(b1,b2…bk)使上述函數(shù)|(b1,b2…bk)達到最小值的方法稱為最小二乘方法。本章中設(shè)X1t =1,主要是為了考慮包括常數(shù)項的模型。如果引進向量和矩陣符號可以把（1）寫成矩陣表達形式。
Y=Xb＋U (3)
其中Y=(Y1,Y2,…Yn)T
b=(b1,b2,…bk)T
U=(u1,u2,…un)T
平方和的函數(shù)形式（2）變成向量的內(nèi)積形式
|(b)=(Y－Xb)T(Y－Xb) (4)
根據(jù)矩陣函數(shù)的求導(dǎo)法則和微分學(xué)中求極值的方法可知，要使（4）達到極小值，參數(shù)的估計量應(yīng)滿足條件：
即
XTXb=XTY
容易得到
b=(XTX)-1XTY
b稱為b的最小二乘估計， =Xb稱為估計回歸平面，注意到為求出OLS估計用到了(XTX)-1存在的條件。為了使OLS估計b具有統(tǒng)計上一些重要的性質(zhì)，對于模型（3）有必要做出如下的假定：
1）誤差項ut的期望為0，即E(ut)=0 (t=1,2,…n)
2）不同時點的誤差項之間不相關(guān)，即E(utus)=0 (t1s,t,s=1,2, …n)
3）ut的方差和t無關(guān)，即Var(ut)=s2 (t=1,2,…n)
4）Xit為確定性變量，即E(Xitut)=0
5）由X的列向量構(gòu)成的向量組線性無關(guān)，即r(X)=k<n
6）ut服從正態(tài)分布，即ut∽N(0,s2) (t=1,2,…n)
由于b－b = (XTX)-1XTY－b
= (XTX)-1XT(Xb＋U)－b
= (XTX)-1XTU
在上述條件成立的前提下，容易求出b的期望為
E(b)=b
b的協(xié)方差矩陣為
Var(b)=E[(b－b)(b-b)T] =(XTX)-1XTE(UUT)X(XTX)-1
=(XTX)-1s2
同時最小二乘估計量給出參數(shù)的最優(yōu)線性無偏估計(best linear unbiased estmators:略為blue)，即在所有可能的線性無偏估計的集合之中b具有最小協(xié)方差矩陣（半正定的意義上）。在這里需要讀者留意的是在證明b的blue性質(zhì)時，并不需要ut關(guān)于正態(tài)分布的假定6），只有在對模型的參數(shù)進行檢驗時，才用到此條假設(shè)。關(guān)于OLS估計的最小方差性的證明，可以查閱參考文獻[41]。我們稱滿足假定1）－5）條件的模型為”標準線性回歸模型”，加上假定6）時將回歸模型稱為”標準線性正態(tài)回歸模型”。
OLS估計的殘差向量定義為：
=Y-Xb = e =(e1, e2,…, en )T
其中 et = (t=1,2,…,n)， 為Yt的估計值。從殘差的定義可知它不同于誤差。二者區(qū)別在于前者是估計回歸平面同觀察值高度的差，而后者是未知回歸平面同觀察值高度的差。由于
e=Y－Xb=Y－X(XTX)-1XTY=[I－X(XTX)-1XT]Y
=[I－X(XTX)-1XT](Xb＋U)
=[I－X(XTX)-1XT]U=MU
殘差在形式上可以理解為誤差項ut的一種估計。利用公式
E(UTAU)=s2tr(A)
其中tr表示矩陣的跡，A為n×n矩陣，U為模型（3）中的誤差向量。有
E(eTe)=E(UTMU)=s2(n－k)
故ut的方差s2的無偏估計由殘差平方和除以它的自由度給出，即 。其平方根S稱為回歸模型的標準差。利用殘差向量和估計回歸平面垂直的性質(zhì)可以把總離差平方和 (total sum of squares:TSS)分解為可解釋平方和 (explaned sum of squares:ESS)，殘差平方和eTe (residual sum of squares:RSS)兩部分。即
eTe (5)
亦可以寫成TSS=ESS＋RSS。（5）中 為Y的平均值，即 ， 為Yt的估計值。（5）的分解只對于包含常數(shù)項的回歸模型成立。
作為說明線性回歸模型解釋能力大小的一個指標量決定系數(shù)(coeffcient of determination)定義為：
(6)
R2表示被解釋變量觀察值的總變動之中解釋變量所能解釋部分的百分比，顯然有0￡R2￡1，如果R2=0表明模型的解釋能力為0，如果R2=1表明模型的解釋能力為100%。當解釋變量只有一個X時（模型中包含常數(shù)項），決定系數(shù)R2和Y與X的樣本相關(guān)系數(shù)的平方相等。由（6）定義的R2可以看出隨著解釋變量個數(shù)的追加，其值增大，即使追加的解釋變量對于模型沒有太大的解釋能力，最終仍能使R2變成1。為了對這一點進行修正，在實證分析中經(jīng)常使用自由度調(diào)整后的決定系數(shù)；其定義為
(7)
其中(n-k)是殘差平方和RSS的自由度，(n-1)為Yt樣本方差的自由度，比較R2和 ，前者當模型中追加新的解釋變量時，由于RSS不會增加（一般情況下RSS變小），故前者決不會減少，而后者當解釋變量的個數(shù)增加時有減少的可能。 和R2的關(guān)系由下面的（8）式給出：
(8)
通常有(n-k)<(n-1)，故可得出 的值要比R2稍小一些。
二﹑OLS估計的分布性質(zhì)
由于
b-b=(XTX)-1XTU
即b為U的線性函數(shù)，在U服從多元正態(tài)分布的假定下，由正態(tài)分布的性質(zhì)，b亦為正態(tài)分布，即
b～N(b,(XTX)-1s2)，
顯然有bi～N(bi,aiis2)，其中aii為(XTX)-1中主對角線上第i個元素。由數(shù)理統(tǒng)計學(xué)的知識可以證明統(tǒng)計量 在假設(shè)H0：bi=0的前提下，服從自由度為(n-k)的t分布。這里 。bi=0假設(shè)含義是模型中解釋變量Xi對于Yt的解釋能力為0，如果”bi=0″被拒絕的話，則可以得出Xi是決定Yt的主要因素之一這一積極的結(jié)論。實證分析中經(jīng)常運用的檢驗統(tǒng)計量除去對單個系數(shù)進行檢驗的t統(tǒng)計量之外，還有對系數(shù)總體進行檢驗的F統(tǒng)計量。其定義如下：
(9)
上述統(tǒng)計量在假設(shè)H0：b2=b3=…=bk=0的前提下服從自由度為(k-1,n-k)的F分布，此假設(shè)的含義是：模型中除常數(shù)項外所有解釋變量Xi對于Yt沒有任何影響。
如果把決定系數(shù)
代入F，可以得到F的另一個表現(xiàn)形式
(10)
我們知道R2是判斷模型擬合程度的一個尺度，而F統(tǒng)計量是在統(tǒng)計上評價給出模型的合理性重要的統(tǒng)計量之一。
三﹑OLS估計的應(yīng)用
我們考慮以下的宏觀消費函數(shù)（中國城鎮(zhèn)居民的消費函數(shù)）
Ct = b1+b2(Y/CP)t + ut t = 1,2,……,n (11)
其中， C：城市家庭商品性支出（不變價）；
Y：城市家庭可支配收入（現(xiàn)價）；
CP：城鎮(zhèn)居民消費物價指數(shù)（1990年=100）
消費函數(shù)(11)主要考慮實際可支配收入Y/CP決定實際消費支出C。模型(11)稱為絕對收入學(xué)說下的消費函數(shù)。表7.1是城市家庭商品性支出、城市家庭可支配收入、城鎮(zhèn)居民消費物價指數(shù)的年度數(shù)據(jù)。
表7.1 城市家庭商品性支出、可支配收入、消費物價指數(shù)年度數(shù)據(jù)
年度 C Y CP
1978 1479.91 705.31 45.05
1979 1624.62 801.63 45.90
1980 1804.14 945.56 49.32
1981 1925.80 1009.36 50.54
1982 2020.96 1149.87 51.53
1983 2128.78 1276.03 52.57
1984 2386.22 1585.41 54.01
1985 2758.48 1879.34 60.45
1986 3038.03 2399.20 64.68
1987 3313.10 2801.16 70.36
1988 3721.47 3416.74 84.91
1989 3649.69 4099.59 98.74
1990 3984.10 4597.46 100.00
1991 4449.61 5232.32 105.09
1992 5158.75 6576.47 114.14
1993 5897.37 8615.10 132.52
1994 6481.59 12013.27 165.68
1995 7325.36 15082.93 193.51
1996 7744.04 17416.98 210.54
1997 7894.81 19086.32 220.54
資料來源：國家信息中心預(yù)測部
消費函數(shù)（11）的估計結(jié)果由下面的（12）式給出：
C=-113.5 + 0.9252Y/CP (12)
(-1.47) (58.8)
R2=0.995 S=157 F(1,18)=3459 DW=1.25
括號中的數(shù)字為t估計值。Brown考慮過去收入對本期消費的影響后，提出如下形式的消費模型：
Ct = a+b0Yt+b1Yt-1+b2Yt-2+ …… (13)
其中，C：消費支出
Y：可支配收入
過去收入對消費的影響程度可以假定為隨著時間的推移，以幾何級數(shù)形式減少，即
bi = b(1-l)li， 0<l< 1, i=0,1,2,……
顯然有b0 >b1>b2> ……，這表明距離現(xiàn)在越近，影響也就越大。把bi代入(13)式，得出
Ct =a+b(1-l) Yt+b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (14)
用l乘次Ct-1可得
l Ct-1=la + b(1-l)l Yt-1+b(1-l)l2 Yt-2+ …… (15)
(14)-(15)給出
Ct -l Ct-1 = a (1-l)+b(1-l) Yt (16)
即
Ct=a (1-l)+b(1-l) Yt+l Ct-1 (17)
Brown消費函數(shù)本質(zhì)上是考慮了消費習(xí)慣影響到本期的消費，從模型中可以看出，短期MPC（邊際消費傾向）為b(1-l)，長期MPC為b。
利用表9.1的數(shù)據(jù)，Brown消費函數(shù)的估計結(jié)果由下面的(18)式給出
C=-74.38+0.6095Y/CP+0.3706C(-1) (18)
(-1.02) (5.44) (2.88)
R2=0.997 S=131 F(2,16)=2291 DW=1.78
如果考慮在Brown消費模型的基礎(chǔ)上在增加一個解釋變量實際儲蓄存款利率（一年期利率），我們得到以下結(jié)果：
C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) – 9.683R – 295.4D1 (19)
(-0.125) (4.29) (3.95) (-1.73) (-2.18)
R2=0.997 S=118 F(4,14)=1427 DW=1.76
(19) 式中的變量D1稱為虛擬變量，它刻畫了1989年物價的急劇波動。
從上面3種不同形式的消費函數(shù)的估計結(jié)果來看，回歸模型中參數(shù)的符號及大小不僅和經(jīng)濟理論相吻合，而且參數(shù)的估計值在統(tǒng)計上有意義。3種模型中的長期MPC分別為0.93、0.97、0.98，在數(shù)值上沒有發(fā)生明顯的變化。這種高MPC反映了中國城市居民在此期間的消費特點，我們注意到1965年-1985年間的美國、德國（西德）、法國的宏觀消費函數(shù)中的MPC都在0.9以上?？紤]到MPC和投資乘數(shù)的關(guān)系，從投資乘數(shù)M=1/(1-MPC),可以得到在高MPC的情況下，投資乘數(shù)的效果增加。但是，應(yīng)該注意的是，隨著近年我國居民收入結(jié)構(gòu)的改變和各種金融證券市場的日趨繁榮，消費函數(shù)中應(yīng)考慮加入金融資產(chǎn)和隱性收入等變量，這樣更能夠說明城市居民的消費狀況。
§7.2 計量模型分析中的諸問題
在第1節(jié)中看到模型中誤差項ut的諸假設(shè)對于OLS估計具有blue性質(zhì)至關(guān)重要，特別是如果ut關(guān)于方差一定和不相關(guān)的假定不成立時，OLS估計不再是有效的（即OLS估計的方差不再是最小的）。本節(jié)主要討論這些假定不成立時，如何采取適當?shù)膶Σ呋蛘呷绾螌烙嫹椒ㄟM行修正。
一﹑序列相關(guān)(autocorrelation)
對經(jīng)濟數(shù)據(jù)進行計量分析時，經(jīng)常發(fā)生的問題是ut不滿足E(utus)=0 (t1s, t,s=1,2,…,n)的假定條件，即誤差項之間存在著序列相關(guān)性。產(chǎn)生這種相關(guān)的原因一般有以下兩個方面：
1）模型設(shè)定的偏誤。例如模型中丟掉了某個重要的解釋變量。
2）經(jīng)濟行為的慣性。例如考慮消費函數(shù)模型Yt=a＋bXt＋ut，其中Xt為收入，Yt為消費，ut為除去收入之外影響消費的所有因素之和。如果收入之外的要素發(fā)生變化時，顯然通過ut會對t期的消費Yt產(chǎn)生影響，通常這種影響要延續(xù)到下一期或者下幾期的消費，這是因為經(jīng)濟活動尤其是消費行為并不一定是本期內(nèi)完結(jié)的，在這種情況下，產(chǎn)生正的序列相關(guān)是顯然的。經(jīng)濟變量一個顯著特點是大多數(shù)都具有慣性或滯后性，尤其在經(jīng)濟時間序列的分析中，這種特點更加明顯進而產(chǎn)生了序列相關(guān)性。
對于模型估計，序列相關(guān)存在的主要后果是：雖然OLS估計具有線性無偏性，但失去最小方差性，而且序列正相關(guān)時，參數(shù)估計的標準差相對于實際的估計值過小估計，導(dǎo)致t值過大，容易造成拒絕H0過度頻繁出現(xiàn)，假回歸的危險性增大進而產(chǎn)生使人們對模型的參數(shù)估計值過度信賴的假象。
眾所周知，計量模型中誤差項的相關(guān)模式絕大部分遇到的是具有以下的一階自相關(guān)形式：
ut=rut-1＋et (20)
其中et滿足模型（3）中假設(shè)的1）、2）、3）和6），這種形式的模型稱為一階自回歸模型(first-order autoregressive)記為AR(1)。模型（20）是一種在經(jīng)濟分析中非常重要的自相關(guān)模型，理由在于首先這種自相關(guān)模型代表了實證分析中大多數(shù)誤差項自相關(guān)的形式，并且由于它的特殊性，簡單性和實用性，一般情況下在實證分析中不考慮誤差項之間存在的高階相關(guān)的情況，主要是處理起來比較困難的原因。
通過模型（20）可知，如果r10表示ut之間存在自相關(guān)，r=0表示ut之間不存在自相關(guān)。作為檢驗序列相關(guān)是否存在的方法，可以考慮以下的假設(shè)檢驗。
H0：r=0
由于殘差表現(xiàn)了誤差項的行為，考慮下式給出的r的估計
(21)
可以看成et和et-1 之間的相關(guān)系數(shù)，實際為et對et-1作回歸的系數(shù)估計。當ê ú的值較大時，可認為誤差序列中存在一階自相關(guān)性。
Durbin,J和Waston,G.S (DW)基于et和et-1之間的相關(guān)系數(shù) 提出了檢驗r的d統(tǒng)計量
(22)
通過簡單的推導(dǎo)有下面的近似關(guān)系成立：
d”2(1－ ) (23)
考慮到r的取值范圍，可以得到如下的結(jié)果
(24)
表明d的值約等于2時，誤差序列不相關(guān)，d接近于4時，序列呈負相關(guān)關(guān)系，d接近于0時，序列呈正相關(guān)關(guān)系。一般利用 構(gòu)成的d取值范圍在0～4之間，從d的定義看到它依存殘差向量e，而e=MU，雖然E(e)=0，但是E(eeT)=E(MUUTM)=Ms2,一般情況下e的分布依賴于X，這導(dǎo)致d的分布亦依賴于X，使得直接利用d的分布進行檢驗變得非常困難（雖然給定解釋變量X后求d的分布也不是一件容易的事）。為了回避上述難題，DW考慮了不依賴于解釋變量取值的d統(tǒng)計量的上界(du)和下界(dl)。為了檢驗?zāi)Ｐ停?0）中
“H0：r=0 對立H1：r>0”
DW對顯著水平0.05，0.01和不同的樣本容量及解釋變量個數(shù)，給出了統(tǒng)計檢驗表（可查閱參考文獻Johnston[15],Maddala[18]).
如果d<dl，拒絕H0；
如果d>du，接受H0；
如果dl￡d￡du，不能確定。
對于”H0：r=0 對立H1：r<0″時的檢驗，由d”2(1－ )可以得出
4－d=2(1＋ )=2(1－(- ))
故只須作變換（4－d），檢驗步驟同樣，即
如果4－d<dl，拒絕H0；
如果4－d>du，接受H0；
如果dl￡4－d￡du，不能確定。
雖然d統(tǒng)計量經(jīng)常被用于檢驗誤差序列的自相關(guān)性，但使用時，要留意以下3點：
1）d只適合于1階自相關(guān)的檢驗；
2）回歸模型中必須含有常數(shù)項；
3）當模型中含有被解釋變量的滯后項時，此檢驗產(chǎn)生偏誤，即d常取值在2左右，造成模型中不存在自相關(guān)的假象。
用d統(tǒng)計量檢驗出誤差項為一階自相關(guān)后，對模型可采用下面的估計方法。設(shè)考慮模型為
Yt=XtTb＋ut t=1,2,…,n (25)
ut=rut-1＋et (26)
Xt=(1,X2t,…Xkt)T b=(b1,b2,…bk)T
其中et同模型（20）的假設(shè)，顯然（25）為（1）的向量表達形式。用r乘以Yt-1得到
rYt-1=rXTt-1b＋rut-1 (27)
（25）－（27）給出
Yt－rYt-1=(Xt－rXt-1)Tb＋et (28)
當r已知時可作變換（或稱為廣義差分）
t=2,3,….,n (29)
得到模型：Yt*=Xt*Tβ＋et (30)
(30)中的誤差項et滿足OLS所有假設(shè)，對(30)運用OLS可得到滿足blue性質(zhì)的估計量。雖然上述方法簡單可行，但實際工作中假設(shè)r已知是不現(xiàn)實的，r未知時首先必須對r進行估計，具體步驟如下：
第一步：對（25）直接運用OLS，利用得到的殘差et對et-1作回歸，求出r的估計值
(31)
第二步：用 代替（30）中r后，再運用OLS方法，求出b的估計值。
上述方法稱為CO法(Cochrane,D.和Orcutt,G.H)?？紤]到r的估計 的精度問題，可重復(fù)上述步驟，直到 收斂為止。上述方法已在計量分析用軟件中程序化（例如TSP，RATS等），故經(jīng)常被應(yīng)用于實證分析，注意到CO法中，由于取廣義差分變換的原故，估計利用可能的樣本容量從n減少為(n-1)帶來了信息的損失。關(guān)于這一點的修正方法，已經(jīng)提出各種各樣的改進方案，在機理上和CO方法沒有太大的差別，有興趣的讀者可查閱參考文獻，Harvey[12],Maddala[18]。
應(yīng)用實例：
如果我們用CO方法對消費函數(shù)(11)進行估計則得到如下結(jié)果：
C=-150.3+0.9305Y/CP (32)
(-1.25) (40.7)
R2=0.990 S=147 F(1,18)=1657 DW=2.08 =0.3522(1.68)
上式的估計結(jié)果和(12)式進行比較我們看到DW值明顯變好，長期MPC幾乎沒有發(fā)生改變，但是估計值的t值急劇變小，使用CO法一般伴隨此種傾向。
二、異方差性(Heteroscedasticity)
在OLS的基本假定中，假定5）不成立，即E(ut2)=st2 t=1,2,…n 其它假定不變的情形稱為異方差性。這也是經(jīng)濟分析中經(jīng)常遇到的問題之一。例如利用橫截面數(shù)據(jù)研究消費和收入之間的關(guān)系時，收入較少的家庭用在購買生活必需品上的比例較大，誤差項的變化幅度不大。收入較多的家庭有更多可自由支配的收入，使得這些家庭的消費有更大的選擇范圍，由于個性、愛好、習(xí)慣等不同造成的差異，使誤差項變化幅度增大，或者說低收入家庭消費的分散度（方差）和高收入家庭消費的分散度相比較，可以認為前者小于后者。下面考慮一種最重要的異方差模型。
Yt =b1＋b2X2t＋ut t=1,2,…n (33)
式中ut除Var(ut)=st2=s2X2t2之外，滿足標準線性回歸模型的其它基本假設(shè)，這里假設(shè)ut的方差為解釋變量X2t的函數(shù)（有時也假設(shè)st2=s2X2t）。這是一種在實證分析中經(jīng)常使用的手法。例如對截面數(shù)據(jù)的消費和收入分析時，就常常假設(shè)此種類型。亦可以說是一種經(jīng)驗手法。對上述模型估計的具體步驟如下：
（33）式的兩邊同乘以 后得到
= (34)
上述模型中 ，可知變換后的誤差項滿足回歸模型基本假設(shè)，對（34）式作回歸得到滿足blue性質(zhì)的OLS估計量。注意到（34）式的 對 作回歸等價于求
(35)
的最小值問題。這種方法又稱為加權(quán)最小二乘法(weighted least squares)。
與序列相關(guān)一樣重要的是：我們怎樣才知道異方差存在？對于異方差的檢驗來說沒有像檢驗序列相關(guān)時d統(tǒng)計量那樣方便可行的方法，這里可以考慮以下實用的手法。
1）圖示法
首先按不存在異方差性的假設(shè)，對模型進行OLS估計，由于殘差可以看成是誤差項的一種估計，作出解釋變量與殘差平方的散點圖，根據(jù)圖形的類型來判斷異方差存在與否。
2）根據(jù)研究問題的性質(zhì)
例如研究儲蓄和收入的關(guān)系時，可以認為收入高的家庭儲蓄的方差高于收入低的家庭，同樣研究企業(yè)的投資行為時，大企業(yè)投資支出的方差很可能比小企業(yè)的方差大，即把大中小規(guī)模的企業(yè)放在一起作抽樣調(diào)查，模型中異方差性存在的可能性較大。根據(jù)經(jīng)驗，使用橫截面數(shù)據(jù)進行計量分析與使用時間序列數(shù)據(jù)相比較，前者存在異方差的可能性要大于后者。
當異方差存在時，模型的估計方法除了可以采用上面敘述的加權(quán)最小二乘法外，還可以采取對所研究的對象取對數(shù)后，再進行回歸分析的方法，實踐證明亦是回避異方差存在的一個可行的方法。
應(yīng)用實例
表7.2 日本國各地區(qū)儲蓄和收入數(shù)據(jù) 單位（千日元）
地區(qū) Y(儲蓄) X(收入) 地區(qū) Y(儲蓄) X(收入)
北海 4349 2376 滋賀 5901 2914
青森 3499 2032 京都 7070 2690
巖手 3851 2096 大阪 8341 3179
宮城 4130 2442 兵庫 6158 2701
秋田 3611 2098 奈良 5630 2174
山形 4192 2152 和歌山 6750 2108
福島 4206 2386 鳥取 4847 2177
茨城 4872 2638 島根 4589 2142
木 5292 2780 岡山 5584 2556
群馬 5732 2684 廣島 5839 2662
玉 4471 2858 山口 5144 2302
千葉 4494 2801 德島 5870 2275
東京 16242 4258 香川 7098 2508
神奈川 4753 3007 愛媛 5782 2162
新瀉 5017 2377 高知 5360 2001
富山 6585 2592 福岡 4632 2526
石川 5865 2582 佐賀 4550 2153
福井 6527 2400 長崎 3950 2648
山梨 5898 2585 熊本 3886 2269
長野 6925 2612 大分 4220 2289
岐阜 6454 2495 宮崎 3492 2055
靜岡 5833 2899 鹿兒島 3700 1985
愛知 6595 3002 沖繩 3082 1892
三重 5863 2587
資料來源：山本 拓（日）計量經(jīng)濟學(xué)，新世社,1995
利用表7.2的數(shù)據(jù)，得到如下回歸方程式：
Y=-3866.05+3.756X (36)
(-3.46) (8.45)
R2=0.614 S=1240 F(1,45)=71.5 DW=1.97
根據(jù)上面對異方差性的分析我們懷疑上述模型的誤差項之間可能存在著異方差，為此我們考慮殘差平方 對Xi的回歸得到：
(37)
(-4.45) (5.23)
R2=0.388 S=2313430 F(1,45)=27 DW=1.11
從上述的回歸結(jié)果可知，誤差項之間存在著異方差性。下面我們利用本節(jié)中給出的異方差性存在時的修正方法進行估計給出以下結(jié)果：
Y= -2042.86+3.014X (38)
(-1.85) (6.54)
R2=0.071 S=0.445 F(1,45)=3.41 DW=1.62
三、多重共線性(multicollinearity)
標準線性回歸模型中假定（5）為r(X)=k,從此假定可知由解釋變量矩陣X的每一列構(gòu)成的向量組是線性無關(guān)的，它保證了(XTX)-1的存在性，顯然這條假定不成立時，向量組線性相關(guān)，不能求出OLS估計量。這種情況稱在解釋變量之間存在著完全的多重共線關(guān)系。經(jīng)濟分析中經(jīng)常遇到的不是這種極端的情形，常常是解釋變量的一部分或者全部存在著高度但不是完全的共線關(guān)系的情形。例如：為考慮消費者的行動對消費函數(shù)進行計量分析時，設(shè)被解釋變量為消費，解釋變量為實際可支配收入和儲蓄，顯然我們不能排除收入和儲蓄之間存在著相關(guān)關(guān)系，由于多數(shù)的經(jīng)濟變量具有同一方向變動的傾向，這也造成了在經(jīng)濟模型中常常出現(xiàn)多重共線的現(xiàn)象。
多重共線性存在對模型估計的影響主要表現(xiàn)在以下三個方面：
1）估計值可能有很大的方差，使得估計的可信度低下。
2）估計值缺少穩(wěn)定性，即對數(shù)據(jù)的極小變化和解釋變量的增減，估計值都有很大變化。
3）雖然有較高的決定系數(shù)，但是估計系數(shù)的t值在統(tǒng)計上很少顯著。
和其它不滿足基本假設(shè)的情況一樣，我們主要關(guān)心的是如何判斷多重共線性的存在與否。在各種計量經(jīng)濟學(xué)中的專著和論文中，人們已經(jīng)給出了多種的判斷多重共線性存在的方法，但是應(yīng)當指出的是很難找到一個統(tǒng)一的嚴格的判斷準則。這里只給出一個用解釋變量之間的決定系數(shù)判斷多重共線性的尺度，定義如下：
(39)
其中 為第i個解釋變量關(guān)于其余的解釋變量作回歸的決定系數(shù)，VIF(bi)稱之為bi的方差擴大因子(variance-inflation factor:VIF)。根據(jù)經(jīng)驗通常當VIF(bi)>10（ >0.9）時，認為Xi和其余的解釋變量之間存在著共線關(guān)系。
多重共線關(guān)系存在時，找到一個確切的處理方法是困難的，這里只介紹一些簡單實用的方法。
1）增加樣本的信息
例如對消費函數(shù)的分析，選擇年度數(shù)據(jù)進行回歸利用上面的判斷尺度，發(fā)現(xiàn)了多重共線性，此時可以把年度數(shù)據(jù)換成季度數(shù)據(jù)再進行回歸，通常會減少解釋變量之間的相關(guān)關(guān)系。
2）對數(shù)據(jù)進行變換
例如對變量取對數(shù)后，再做回歸通常會減少變量間的共線性，并增加參數(shù)估計的穩(wěn)定性。也可以采用對模型中的變量一階差分后，再進行回歸的方法。
3）對模型不做任何調(diào)整
對模型進行估計后，發(fā)現(xiàn)參數(shù)估計值的符號大小都不和經(jīng)濟理論矛盾，其對應(yīng)的t值在統(tǒng)計上顯著，決定系數(shù)也很高，在這種情況下即使VIF很大，也沒有必要對模型采取任何修正措施。對于多重共線性的處理對策，還存在其它一些方法，已超出本書的范圍，故給予省略。由于不存在根本的解決方法，所以說即使是現(xiàn)在，多重共線性也是多元回歸分析中使人感到最困難的問題之一。
應(yīng)用實例
對于回歸估計（19）式
C=-8.894+0.4839Y/CP+0.5064C(-1) – 9.683R – 295.4D1
我們計算上式中系數(shù)所對應(yīng)的VIF得到
VIF(b2)=81.9, VIF(b3) =83.9, VIF(b4)=1.28
根據(jù)多重共線性判斷尺度，可以認為解釋變量之間存在著高度的共線關(guān)系。但是，注意到模型中各參數(shù)符號及大小和經(jīng)濟理論相一致，同時參數(shù)估計的t值在統(tǒng)計上有意義，R2很高。在這種情況下，不用過多考慮多重共線性的存在，我們對方程可以不做任何修改。
§7.3 回歸分析的一些新發(fā)展
近年非平穩(wěn)時間序列的估計方法、模型選擇理論、長期均衡關(guān)系的分析方法都取得了飛速的發(fā)展。這些方法被應(yīng)用于消費理論景氣循環(huán)理論貨幣需求等領(lǐng)域，成為宏觀經(jīng)濟學(xué)分析研究中不可缺少的手法。下面簡單介紹一下主要的結(jié)果。
一、非平穩(wěn)時間序列和假回歸現(xiàn)象
考慮回歸模型
Yt=jYt-1＋ut (40)
式中ut滿足模型（3）中假設(shè)的1）、2）、3）和6）。當j<1時，Yt稱為平穩(wěn)時間序列，記作Yt∽I(0)，這時Yt的期望方差分別為：
E(Yt)=0
當j=1時，Yt稱為”醉步模型(random walk model)”，是非平穩(wěn)時間序列中最有代表性的一種，亦稱Yt存在著單位根(unit root)，記為Yt∽I(1)，這時Yt的期望方差分別為：
E(Yt)=0 Var(Yt)=ts2
從上述結(jié)果可知，Yt的方差隨時間t增大而發(fā)散。這種非平穩(wěn)模型被應(yīng)用于效率市場的假說下的股票價格變動，恒常收入學(xué)說(permanent income hypothesis)下的消費函數(shù)等的分析。關(guān)于非平穩(wěn)時間序列研究的主要結(jié)果可以簡述如下：用時間序列數(shù)據(jù)進行OLS估計時，有必要首先檢驗所使用變量的平穩(wěn)性，這是因為兩個不相關(guān)的非平穩(wěn)時間序列Yt和Xt作回歸，會帶來假回歸的問題，即雖然Yt和Xt獨立不相關(guān)，但回歸中的t值在統(tǒng)計上顯著導(dǎo)致好像Yt和Xt之間存在有意義的相關(guān)關(guān)系的結(jié)論。
單位根的檢驗方法：
到目前為止對于單位根問題的研究論文可以說舉不勝舉，但實證分析中經(jīng)常被應(yīng)用的是Dickey-Fuller檢驗（略為DF）。這里準備用以下最簡單的模型形式，介紹一下DF檢驗的使用方法。
設(shè) DYt=aYt-1＋et (41)
其中DYt=Yt－Yt-1 a=j-1
如果H0：a=0（即j=1，單位根存在）的假設(shè)沒有被拒絕，認為Yt存在單位根。模型（41）可以擴展到包含常數(shù)項和時間變化趨勢(time trend)等一般的情形，我們這里不準備再進一步討論，有興趣的讀者可以參閱參考文獻 Banerjee et al [3]，Dickey and Fuller[7]，在這里只準備強調(diào)一點，對a=0作檢驗時，t檢驗統(tǒng)計量已經(jīng)不服從通常的t分布，必須利用DF給出的修正分布表，不然會得出錯誤的結(jié)論。
二、協(xié)整關(guān)系(cointegration)
宏觀經(jīng)濟變量的大多數(shù)，單個來觀察的話，隨著時間的推移它們呈現(xiàn)一種”醉步”（非平穩(wěn)）的走勢。如果把幾個經(jīng)濟變量的走勢圖形放在一起觀察的話，會發(fā)現(xiàn)它們的運動具有某種相似性（例如，消費和收入，進口和出口等）。這種現(xiàn)象的產(chǎn)生，引起了人們的興趣，這種經(jīng)濟變量運動的相似性構(gòu)成了協(xié)整概念的基礎(chǔ)，下面給出協(xié)整的定義。
設(shè)Yt∽I(1)，xt∽I(1)。如果存在常數(shù)b（b10），使得Yt－bXt為I(0)（平穩(wěn)時間序列）時，稱Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系。上面提到當Yt和Xt均為非平穩(wěn)時間序列Yt和Xt作回歸時，要注意假相關(guān)問題的出現(xiàn)，但是當Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系時，不會產(chǎn)生這樣的問題。關(guān)于協(xié)整關(guān)系的檢驗，這里只簡單介紹一下利用回歸殘差進行檢驗的Engle-Granger方法(Engle and Granger[8])具體步驟如下：
第一步：設(shè)Yt和Xt之間存在以下的關(guān)系
Yt=m+bXt＋ut (42)
用OLS對（42）式作回歸得到殘差et。
第二步：對殘差et運用DF的單位根檢驗方法來判斷ut的平穩(wěn)性，如果得出ut∽I(0)的結(jié)論，則稱Yt和Xt之間存在協(xié)整關(guān)系，此外對于協(xié)整的檢驗還有Johansen的最大似然估計檢驗，此方法的解釋超出這本書范圍，故不再說明，讀者可以參閱參考文獻Johansen[14],或者Banerjee et al [3]。
三、非平穩(wěn)經(jīng)濟模型的應(yīng)用
在這一節(jié)我們將通過對日本貨幣需求函數(shù)作分析的實例，來說明如何利用前面討論的非平穩(wěn)模型的的方法，對經(jīng)濟活動進行定量研究。近年來，對于貨幣需求的研究所采用的模型多為Hendry流ECM（error correction model)形式，它不同于過去的傳統(tǒng)貨幣需求方程的模式，關(guān)于ECM模型的特點我們將在下面的具體模型中簡單地給予說明。（對ECM的詳細解說可查閱Banerjee et al [3],Hendry and Ericssion [13])
估計中使用的數(shù)據(jù)來源于OECD統(tǒng)計年鑒(Organization for Economic Cooperation and Development)區(qū)間為1960年1季度至1990年4季度，變量的定義如下：實際貨幣供應(yīng)量（M2，1985年價格單位為10億日元，季節(jié)調(diào)整完成），實際GNP（1985年價格單位為10億日元，季節(jié)調(diào)整完成），美元對日元匯率（注：模型估計時以上三個變量分別取對數(shù)）、通貨膨脹率（GNP沖減指數(shù)[deflator]的上升率）、利率。下面分別用M、Y、EX、I、R來表示上述變量，貨幣需求函數(shù)的估計回歸式由下面的（43）式給出。
DMt =-0.030+0.67DMt-1+0.22DYt-0.81It+0.26DIt-1-0.0022DRt+0.019D-0.064EXt-1 (43)
(-3.3) (10) (3.3) (-10) (3.6) (-2.5) (4.1) (-4.6)
R2=0.74 S=0.0077 F(7,113)=47 DW=1.8
其中Et-1=Mt-1－1.2Yt-1＋0.26EXt-1意味著M、Y、EX之間存在著協(xié)整關(guān)系（關(guān)于協(xié)整關(guān)系的計算可以用TSP等軟件包），它給出了M、Y、EX之間的長期均衡關(guān)系，DXt表示變量的一階差分，即DXt=Xt－Xt-1，注意到方程式既包含水平變量又包含差分變量，這表明ECM模型充分利用了來自”靜態(tài)”和”動態(tài)”的兩部分信息。如果模型中僅包含差分變量的話就失去了來自水平變量的信息。模型中的D為虛擬變量(dummy variable)，理由在于1974年石油危機的爆發(fā)，使得日本經(jīng)濟的結(jié)構(gòu)發(fā)生了很大變化，D：73、74年的八個季度取值為1，其余為0，括號內(nèi)的數(shù)字是t估計值，從這些結(jié)果可知，所有系數(shù)的估計都是顯著的（顯著水平為0.01），下面討論（43）中解釋變量符號的合理性。
由于我們對GNP取了對數(shù)，所以有
同理
即DYt，DMt實際可以看成GNP，貨幣供應(yīng)量的增長率。DYt系數(shù)符號為正表示GNP的增長對于貨幣供應(yīng)量的增長具有正的影響，符合貨幣供給和GNP之間存在安定的關(guān)系的學(xué)說。通貨膨脹率It的符號為負，因為It對貨幣持有者來說表示貨幣持有的費用，當通貨膨脹率上升時，貨幣持有者會減少其持幣的數(shù)量，It的一階差分的系數(shù)符號為正，這意味著通貨膨脹率實際上發(fā)生改變時，水平變量It的作用（-0.81）會受到來自差分變量DIt的反面影響（+0.26）。利率的系數(shù)為負號，可以理解為：利率對貨幣持有者來說可以看成貨幣持有的機會消費，其符號為負表示作為對利率上升的反應(yīng)，貨幣持有者會減少對貨幣的需求，換句話說這也意味著貨幣持有機會費用的增加。Et-1的系數(shù)符號為負，表明為達到均衡狀態(tài)必要的調(diào)整過程是不可缺少的。Et-1的系數(shù)我們稱做為達到均衡狀態(tài)作調(diào)整的速度。
在這一節(jié)中我們用回歸分析的方法對日本的貨幣需求函數(shù)進行了定量分析，無論在經(jīng)濟理論上，還是在統(tǒng)計上都得到了比較滿意的結(jié)果，對上述貨幣需求函數(shù)的更深入的研究結(jié)果請查閱參考文獻Morimune and Zhao[20]。這里需要指出的是：在用計量方法對經(jīng)濟問題作分析時，首先必須考慮給出的模型在經(jīng)濟理論上的合理性。換句話說，模型中參數(shù)的估計和其它診斷檢驗量即使在統(tǒng)計上很有意義，如果經(jīng)濟理論不具有合理性的話，其模型對于經(jīng)濟的分析是沒有任何意義的。
第八章 模型在經(jīng)濟中的應(yīng)用
作為經(jīng)濟模型化過程的應(yīng)用實例，在本章中給出了幾個案例，主要涉及到宏觀經(jīng)濟周期變化、投資模型的最優(yōu)條件、宏觀經(jīng)濟增長模型以及經(jīng)濟學(xué)中的效用等問題。本章主要內(nèi)容如下：首先討論卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型和最優(yōu)外資規(guī)模的決定模型，然后對馬克思的擴大再生產(chǎn)圖式與哈羅多―多馬模型進行比較，最后討論市場經(jīng)濟中消費者經(jīng)濟行為的數(shù)學(xué)模型描述以及企業(yè)的行為表征。
§8.1 卡萊斯基商業(yè)循環(huán)模型
卡萊斯基(M.Kalecki)模型自1935年問世以來就引起了許多經(jīng)濟學(xué)家和數(shù)學(xué)家的興趣。特別是20世紀70年代后，隨著周期性因素再次宣告西方經(jīng)濟第二次大戰(zhàn)后長達20年繁榮時代的徹底結(jié)束，又喚起了人們對它重新認識的極大熱情。在近半個世紀的研究中，關(guān)于該模型運動穩(wěn)定性方面的問題更是不乏探討和論證。在這當中，有些可以說是天才的猜測，有些則是部分的證明。迄今為止，尚未見到關(guān)于卡萊斯基模型的運動穩(wěn)定性的完整成果。本節(jié)在參照前面章節(jié)建模步驟的基礎(chǔ)上試圖解決卡萊斯基早期及后期模型的運動穩(wěn)定性問題，并據(jù)此提出若干經(jīng)濟猜想和可供參考的經(jīng)濟結(jié)論。
一、卡萊斯基的商業(yè)循環(huán)理論與模型
早期模型：卡萊斯基早在1935年就提出了關(guān)于資本主義經(jīng)濟波動的動態(tài)模型。根據(jù)他的理論，在資本主義經(jīng)濟中，投資機制由企業(yè)（資本家）操縱的。企業(yè)在時刻t計劃的投資決策B(t)，經(jīng)過一個固定的時間間隔（時滯）q，資本設(shè)備方可交貨，而支付行為應(yīng)當分布于整個設(shè)備生產(chǎn)及裝置期間。假設(shè)凈投資I(t)為超過重置部分的凈支出，K(t)為資本設(shè)備存量，則有模型如下：
(1)
(2)
假設(shè)整個經(jīng)濟系統(tǒng)的總收入Y(t)，由總消費C(t)，總投資I(t)和自主性支出A所構(gòu)成，而且總消費C(t)線性地依賴總收入Y(t)，c表示邊際消費傾向，則有
(3)
(4)
關(guān)于核心變量B(t)，卡萊斯基認為其受儲蓄S(t)正向的影響和資本物存量K(t)反向的影響。因此當這種關(guān)系為比例關(guān)系并且沒有時滯時，加速形式由模型(5)、(6)決定
S(t) = Y(t)-C(t) (5)
B(t) = aS(t)-bK(t)+e (6)
式中：a,b是正數(shù)，e是趨勢項。從長期觀點看，雖然e隨時間的變動而變動，但在此仍視為常數(shù)項。結(jié)合(5)、(4)和(6)，就得到
B(t) = a(1-c)Y(t)-bK(t)+e (7)
這是一個關(guān)鍵方程，它說明卡萊斯基的投資決策的加速機制，不象一般的加速因子那樣取決于dY/dt（或DY），而是決定于Y的水準。
不難證明，變量Y(t),C(t),I(t),B(t)和K(t)，滿足同一類似的方程式，其數(shù)學(xué)形式是混合式的差分–微分方程。因此，整個經(jīng)濟系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性可由以上任一變量表征。如選擇K(t)，則有
d k(t+q)/dt=(a/q)K(t+q)-(b+a/q)K(t)+aA+e (8)
其均衡水準Ke = (aA+e)/b，運動穩(wěn)定性等價形式為
(9)
方程(9)表示的 實為對均衡水準Ke的離差。在運動穩(wěn)定性意義下，(8)和(9)式是完全等價的。
后期模型：
卡萊斯基的后期模型（1943,1954），在簡單乘數(shù)關(guān)系上仍與早期模型(3)、(4)相同，但是對影響投資決策B(t)的因素，以及其后的投資支出和資本設(shè)備的產(chǎn)出，均有新的考慮和修改。
在后期模型中，卡萊斯基將投資I(t)分成兩類，固定資本及材料Ik(t)和在制品及制成品的盤存Is(t)。各種盤存的投資支出Is(t)決定產(chǎn)出的變動，時滯 ；固定資本的投資支出Ik(s)與設(shè)備的裝置同時發(fā)生（即到貨時支付），但是比其相應(yīng)的投資決策落后時滯 。因此，有模型
I(t) = Ik(t)+Is(t) (10)
Is(t) = n1dY(t- )/dt (11)
Ik(t) = dK(t)/dt = B(t- ) (12)
式中：n1是正數(shù)，K(t)、B(t)意義同前?？ㄈR斯基認為這時B(t)受儲蓄S(t)和產(chǎn)出率(d/dt)Y(t)的正向影響，受資本存量變動(d/dt)K(t)的反向影響。因而，得到模型(13)
B(t) = aS(t)+n2dY(t)/dt-bdK(t)/dt+e (13)
式中：a，n2，b為正數(shù)，e為趨勢項。由(4)、(5)和(12)可知，(13)的變形為
Ik(t+ ) = a(1-c)Y(t)+n2dY(t)/dt-bIk(t)+e (14)
我們定義平均時滯q滿足
(1+b)-1[Ik(t+ )+bIk(t)] = Ik(t+q) (15)
并假設(shè) = q，則不難得出（推導(dǎo)過程見本章附錄1）
其均衡水準Ie = (aA+e)/(1+b-a)
若表示對此均衡水準的離差，則(16)式與下列方程式的運動穩(wěn)定性等價
(17)
方程式(17)和(9)是決定后期模型和早期模型運動穩(wěn)定性的關(guān)鍵。在后期模型中,Y(t)，C(t)和I(t)滿足類似的混合型的差分-微分方程，因此，只須討論(17)式中 的運動穩(wěn)定性。
二、卡萊斯基模型的穩(wěn)定性
有關(guān)卡萊斯基模型運動穩(wěn)定性方面的研究工作集中在早期模型上，最典型的手法是令時滯q = 1(取單位時間）。然而，即使這樣也沒有人完整地研究了參數(shù)不同的取值，會對運動穩(wěn)定性產(chǎn)生什么影響。而且，對”選擇時間單位使q = 1，不失一般性”的說法，經(jīng)濟學(xué)者是持謹慎態(tài)度的。數(shù)學(xué)者持這種說法，是出于簡化數(shù)學(xué)上的復(fù)雜性，并且在不考慮參數(shù)之間存在相依關(guān)系的前提下成立的。數(shù)理經(jīng)濟學(xué)家 Allen[1]曾警告說：有一點須加注意，即在所有卡萊斯基模型中，各常數(shù)的時間長度必須小心確定。這說明q = 1的假設(shè)是不科學(xué)的，容易引出謬誤。
由于早期模型和后期模型的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)有所不同，我們將分別研究和討論。對方程(9)引入顯易解K(t) = K0elt，可以得到其對應(yīng)的特征方程
qleql-aeql+a-bq = 0 (18)
同理，對方程(17)引入顯易解I(t) = I0est，就得到相應(yīng)的特征方程
(19)
方程(18)和(19)又稱為超越方程，滿足這兩個方程的解l和s分別稱為(18)和(19)式的特征根。研究模型穩(wěn)定性，就是研究在什么條件下，特征根的實部Re(l)<0,或Re(s)<0。鑒于超越方程的理論背景和推導(dǎo)證明較為冗長，我們僅給出最主要的思想和結(jié)果。有興趣的讀者可以參閱本章附錄2。
命題1：早期模型(9)對應(yīng)的特征根l的實部均小于實數(shù)r/q的充分必要條件是：
① q(a-1)<r
②
這里，j0是方程
jctgj = a-r/q (20)
在0<j<p中的唯一解。
命題2：后期模型(17)對應(yīng)的特征根s的實部均小于或等于實數(shù)r/q的充分必要條件是①和②中，至少其一不成立。
① ；
②
這里，j0是方程
jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2]-r/q (21)
在0<j<p中的唯一解。
顯然，在命題1和命題2中r = 0，則得到關(guān)于模型穩(wěn)定性的有關(guān)條件，這里恕不贅述。如果我們設(shè)l=a1+ib1，s = a2+ib2分別是(9)和(17)的特征根，那么早期模型的振幅以 加速，經(jīng)濟周期為2p¤b1；后期模型的振幅則以 加速，經(jīng)濟周期為2p¤b2。我們下面給出關(guān)于參數(shù)域與穩(wěn)定性的兩個命題。
命題3：早期模型的運動穩(wěn)定性，取決于參數(shù)a、b、q，并由表1給出：
表1 早期模型穩(wěn)定性條件與結(jié)論
參數(shù)域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
條件 a1+a1 ￡ 0a1 -1< 0 且{a1+a2> 0 或a1 -1 30} < 0a1 -1< 0 < 0且{a1 -1 30或
結(jié)論 減幅(穩(wěn)定)無振蕩 增幅(不穩(wěn)定)無振蕩 減幅(穩(wěn)定)振蕩 增幅(不穩(wěn)定)振蕩
表1中，a1 = a，a2 = bq-a，j0滿足方程jctgj = a，(0<j<p)。
命題4：后期模型的運動穩(wěn)定性取決于參數(shù)a、b、V1、V2、 、 和q，并由表2給出：
表2 后期模型穩(wěn)定性條件與結(jié)論
參數(shù)域 I Ⅱ Ⅲ Ⅳ
條件 a1+a2￡0a1 -1> 0 且{a1+a2> 0 或a1 -1<0} < 0a1 -1< 0 < 0且{a1 -1> 0或
結(jié)論 減幅(穩(wěn)定)非振蕩 增幅(不穩(wěn)定)非振蕩 增幅(不穩(wěn)定)振蕩 減幅(穩(wěn)定)振蕩
表2中，a1 = qa(1-c)/[V1 (1+b)+V2]，a2 = – q(1-c)/[V1+V2/(1+b)]，j0滿足方程
jctgj = qa(1-c)/[V1(1+b)+V2] (0<j<p)
-a2
p/2 IV I
1 Ⅲ 450
e-1 II
0 1 a1
圖8.2
-a2
p/2
1 IV
Ⅲ
e-1 I II
45°
0 1 a1
圖8.1
圖-1和圖-2分別表示命題3和命題4中的參數(shù)區(qū)域。應(yīng)當指出，兩圖的符號雖有類同，經(jīng)濟意義卻截然不同。（請讀者參閱§1）
下面，我們將從數(shù)學(xué)模型的性質(zhì)及經(jīng)濟分析引出若干經(jīng)濟結(jié)論和觀點。經(jīng)濟學(xué)家可以用直覺對其加以評判。
三、主要結(jié)論
很早以前，經(jīng)濟學(xué)家就在研究資本主義經(jīng)濟的商業(yè)循環(huán)。他們企圖通過準確的預(yù)測，使資本主義企業(yè)可以根據(jù)這些預(yù)告及時地適應(yīng)周期性波動。一些具有控制論思想的經(jīng)濟學(xué)家甚至期望通過對商情的發(fā)展施加影響，實現(xiàn)排除或緩和經(jīng)濟危機。然而，資本主義經(jīng)濟學(xué)家的這些愿望能否實現(xiàn)，社會主義市場經(jīng)濟下又是否存在著周期現(xiàn)象和避免周期發(fā)生的機制上的保證，我們希望從模型和現(xiàn)實中得出以下結(jié)論可以部分地回答上述問題。
1. 資本主義經(jīng)濟的無休止的周期性波動，是由其基本矛盾造成的。在這一基本矛盾支配下的企業(yè)行為，是在私有制使企業(yè)追逐自身最佳利益的同時，缺乏對整個經(jīng)濟的責(zé)任感。這種行為可分別由方程(6)和(13)描述出來。因此，資本主義經(jīng)濟面臨的抉擇只有兩種選擇：要么經(jīng)濟繁榮發(fā)展必然伴隨著經(jīng)濟波動；要么經(jīng)濟緩慢發(fā)展（甚至衰退）換來經(jīng)濟穩(wěn)定。命題3和命題4就是說明了資本主義基本矛盾必然導(dǎo)致資本主義經(jīng)濟”永恒的波動”。
2. 從理論上說，如果政府能夠?qū)ζ髽I(yè)的投資決策B(t)施加影響，并對時滯q進行適當?shù)恼T導(dǎo)，則可以把較大的經(jīng)濟波動分解成若干次較小的經(jīng)濟波動；如果能完全操縱投資決策B(t)，則能夠及時剎住過于繁榮的經(jīng)濟，又不至于滑入災(zāi)難性的衰退之中。
3. 即使政府能夠成功地進行2中的誘導(dǎo)，也必須是在政府所能承擔的政策代價的限度之內(nèi)加以推行。從第二次世界大戰(zhàn)以來的歷史看，盡管西方國家運用需求管理的政策調(diào)整弱化和分散了周期波動，但是，也不斷遇到了政策目標相互沖突的長期困擾。這里既有傳統(tǒng)的菲利浦斯的失業(yè)和通貨膨脹的相互替代；也有停滯和膨脹的同時發(fā)生；更有內(nèi)部均衡和外部均衡的不統(tǒng)一，所有這些都極大地降低了政府政策誘導(dǎo)的效應(yīng)和成功的可能性。
4. 在計劃經(jīng)濟體制下，國家身兼投資秩序的維護者和投資行為的承擔者的雙重職責(zé)。這種情況，既為計劃經(jīng)濟能夠避免西方那樣災(zāi)難性的危機創(chuàng)造了條件，但也帶來了以宏觀管理失誤為特征的經(jīng)濟波動的極大可能。從中國經(jīng)濟發(fā)展的歷史來看，就先后發(fā)生過若干次周期性波動，幾乎每一次都是以投資膨脹為先導(dǎo)，繼而又不得不以大規(guī)模的結(jié)構(gòu)調(diào)整作為結(jié)束?？梢?，卡萊斯基提出的投資決策B(t)誘發(fā)經(jīng)濟周期性波動的思想，對社會主義市場經(jīng)濟也同樣具有借鑒的意義。
§8.2 最優(yōu)外資規(guī)模的決定條件
一國利用外資的規(guī)模總要受到一定的限制。外資”過少”意味著經(jīng)濟中仍有處于”閑置”狀態(tài)的投資機會；外資”過多”則可能超過一國所能承受的能力。因此，一旦由經(jīng)濟本身規(guī)定的約束條件已經(jīng)給定，”合理”的外資規(guī)模只能是特定意義下的，唯一的最優(yōu)規(guī)模。然而，在我國目前的體制下，這一最優(yōu)規(guī)模的決定機制以及經(jīng)濟變量對這一過程的參與程度與市場經(jīng)濟有較大的不同。因此，簡單地把適用于市場經(jīng)濟的一般規(guī)律套用于我國是不恰當?shù)摹?br /> 在市場經(jīng)濟條件下，投資行為是由以利潤最大化為其經(jīng)營目標的經(jīng)濟實體來承擔的，投資決策取決于這些經(jīng)濟實體對未來的收益水平的預(yù)期。因此，一般認為，市場經(jīng)濟下，經(jīng)濟變量直接參與了對吸引外資流入量的調(diào)節(jié)，同時，也規(guī)定了最優(yōu)外資流入量的均衡條件。在投資收益遞減規(guī)律普遍作用的情況下，這一均衡條件表現(xiàn)為外資在受資國的邊際收益等于借入外資的邊際成本。這時所實現(xiàn)的利用外資規(guī)模優(yōu)化，不僅意味著受資國在現(xiàn)行借債成本的基礎(chǔ)上，一切有利可圖的投資機會已開發(fā)殆盡，從而外資的流入不再繼續(xù)；而且，還意味著受資國（外資）的投資收益在償付了必要的利息之后，還將給受資國帶來一定的凈收益。在市場機制充分活躍的情況下，一方面，凡是影響投資收益的經(jīng)濟變量都直接參與了對資本流入規(guī)模的限制，另一方面，經(jīng)濟實體的行為方式則構(gòu)成了市場經(jīng)濟下約束外資規(guī)模并使其優(yōu)化的”自發(fā)”機制。應(yīng)當看到，外資投資的凈收益往往是按一定的份額由出資國和受資國共享，因此極大化受資國的凈收益是外資投資的共同目標。考慮到人們對未來匯率的期望也直接影響投資規(guī)模，我們有必要建立一個確定最佳外資投資規(guī)模的模式，以描述市場機制下這一最優(yōu)規(guī)模的決定過程和經(jīng)濟變量對這一過程的參與程度。我們假設(shè)：
I=以受資國貨幣表示的該國投資總規(guī)模；
I*=以出資國貨幣表示的投到受資國的投資規(guī)模；
I0=資本流入前受資國經(jīng)濟處于均衡狀態(tài)下的投資水平；
e=資本流入時受資國匯率；
=出資國投資者對未來投資收益時的預(yù)期匯率；
i=受資國的投資收益率，且i=f(I)，f￠< 0，f￠￠> 0或受資國的借債成本；
i*=出資國的投資收益率或受資國的借債成本；
π(I* )=以出資國貨幣表示的投資收益；
I0*=以出資國貨幣計量的最優(yōu)外資投資規(guī)模。
顯然，外資投資I*相當于受資國貨幣計量的投資eI*=I-I0，而且，在不考慮匯率變化的情況下，最優(yōu)的外資投資規(guī)模I0*一定在區(qū)間 內(nèi)形成，其中I滿足f(I)=i*。這是因為當I*> 時，在受資國投資的報酬率將低于出資國的投資收益率。在這種情況下，受資國即使把全部凈收益轉(zhuǎn)讓給出資國，也無法吸引出資國投資。如圖所示：
插圖8.3
I-I0為受資國引入外資的最大規(guī)模，陰影部分表示外資投資的總收益；其中，矩形部分為在匯率保持不變的條件下受資國的付息總額，擬三角形為受資國的外資投資凈收益。鑒于π(I* )往往是由受資國和出資國分享的，故不論份額如何，投資規(guī)模的最優(yōu)化對雙方都有利。于是，以出資國貨幣計算的，計入預(yù)期匯率的凈收益成為外資投資決策的主要依據(jù)。那么，處于均衡狀態(tài)下的最優(yōu)外資引入規(guī)模就可由下面的數(shù)學(xué)形式求出：
其中I*(1+i*)表示期末受資國償還外資的本利和； 表示外資I*在期末的投資收入。分別對π(I* )求一階導(dǎo)和二階導(dǎo)，得到
(22)
(23)
由f`￠<0可知p￠￠ (I* )<0，于是從p￠(I*)=0，得到在均衡條件下的最優(yōu)解等于：
(24)
其中f-1[·]是投資收益率（單調(diào)遞減函數(shù)）i=f(I)的反函數(shù)形式。由(24)的數(shù)學(xué)性質(zhì)可以推出，如果 >e，即預(yù)期匯率貶值，則最優(yōu)的外資引入規(guī)模下降；如果匯率不發(fā)生變化，則 ，即受資國的外資投資報酬率和出資國的投資收益率一致，此時最佳的投資規(guī)模達到一般的上限；但是如果 <e，即預(yù)期匯率升值，則最優(yōu)的外資引入規(guī)模會突破一般的上限 。由此可見，由(24)式表示的外資引入的最優(yōu)規(guī)模，不僅取決于受資國潛在的投資收益率；同時，受資國的政策當局又可以通過利率的變動或匯率的調(diào)整等政策手段對外資的規(guī)模加以調(diào)節(jié)。
然而，在我國目前的體制下，適用于市場經(jīng)濟的上述規(guī)律并不完全適用于我國的情況。這不但是因為市場經(jīng)濟國家普遍具備的前提條件在我國目前還不完全存在，而且，更主要的是由于外資流入的行為方式與市場經(jīng)濟有較大的不同。結(jié)果是，市場經(jīng)濟下那種使外資規(guī)模達到優(yōu)化的”自發(fā)”機制，在我國受到現(xiàn)有機制約束。具體說，這些原因包括：
首先，我國不具備市場經(jīng)濟國家那種充分發(fā)育的金融市場，也不擁有可與國外金融資產(chǎn)之間充分替代的金融工具。從而資本流入的基本形式只能是商業(yè)貸款或海外發(fā)債，而不可能象市場經(jīng)濟那樣以證券投資為主要形式。而這兩者的區(qū)別之一就在于：前者的期限結(jié)構(gòu)和利率水平一經(jīng)確定，就不再受受資國經(jīng)濟變量的直接調(diào)節(jié)，外資規(guī)模也不再隨這些變量的調(diào)整而上下變動。
其次，我國外資的借入規(guī)模是國家計劃的組成部分，其方式是國家（地方）借債，企業(yè)用債，國家（地方）還債。這種外資流入基本行為的三要素一一借、用、還，被不同主體的人為隔絕，使經(jīng)濟實體的用匯行為不可能是在最優(yōu)規(guī)模上自動停止。相反，外資規(guī)模的上限取決于整個國家為維持長期債譽所可能具備的償債能力。
再次，象處于我國這種階段的發(fā)展中國家，由于市場容量的潛力很大，從理論上講，投資的邊際收益一般要高于發(fā)達國家。但是，由于目前我國企業(yè)的經(jīng)營能力普遍不高，大多數(shù)企業(yè)卻難以承受現(xiàn)行國際市場的借貸利率，加上行政壁壘對外資的限制以及以價格為主的連鎖扭曲，使外資甚至于比”內(nèi)資”更難于按收益的高低在部門之間自由流動，這又可能進一步壓抑外資的收益。結(jié)果，在我國一方面是由投資短缺而形成的缺口需要由大量外資予以彌補；但另一方面，又由于國內(nèi)投資收益率過低，而不得不把可能利用的國外資金拒之門外。因此，在我國直接制約利用外資規(guī)模的條件，與其說是現(xiàn)期和未來的創(chuàng)匯水平，不如說是普遍不高的投資收益率。
第四，我國目前利用外資，實行的是外資流入的歸口管理。外資的使用單位經(jīng)常可以從各級政府得到包括利息補貼在內(nèi)的各種形式的”明補”或”暗補”。由于這嚴重扭曲了外資的成本，因此，不僅使”內(nèi)資”相比之下受到歧視，也助長了用資企業(yè)不把外資當作一種稀缺資源加以使用，這就發(fā)生了在我國目前的體制下人們經(jīng)?？吹降耐鈪R的稀缺（這由外匯的黑市價格典型地得到了表現(xiàn)）和外資的浪費同時并存的奇特現(xiàn)象。這種扭曲的現(xiàn)象越是嚴重，外資的規(guī)模也就越是容易失去控制。
綜上所述，在我國目前市場機制尚未充分發(fā)育的情況下，經(jīng)濟實體的微觀行為并不構(gòu)成對外資規(guī)模的有效約束，而這在宏觀上，則表現(xiàn)為經(jīng)濟變量對外資規(guī)模的調(diào)節(jié)機能也十分有限。這時，在維持長期債譽的基礎(chǔ)上，僅僅取決于計劃決策的外資借入規(guī)模，一旦政府的計劃不周，就可能出現(xiàn)借債”過度”或借債”不足”的現(xiàn)象。更嚴重的是，即使決策當局已經(jīng)意識到外資的規(guī)模不大適當，也很難在短期內(nèi)隨經(jīng)濟的變動而及時調(diào)整。這就難免發(fā)生非優(yōu)化借債，特別?quot;過度”借債這一現(xiàn)象。因此，對我國來說，當前刻不容緩的是應(yīng)當進一步完善市場機制，積極改善外資利用的借、用、還這三個環(huán)節(jié)，以便為國家從對外資規(guī)模的單純性的直接計劃調(diào)節(jié)向以匯率等政策工具為主的間接性調(diào)節(jié)創(chuàng)造條件。
§8.3 馬克思擴大再生產(chǎn)圖式與增長模型
許多人誤認為宏觀增長理論始于后凱恩斯主義的哈羅德一多馬模型。但如果我們把馬克思的勞動價值理論和擴大再生產(chǎn)圖式作為總量分析的基礎(chǔ)，對宏觀經(jīng)濟的平衡增長深入細致地研究的話，發(fā)現(xiàn)馬克思理論的模型與哈羅德一多馬模型有驚人的相似之處，這說明馬克思的經(jīng)濟理論對經(jīng)濟學(xué)的貢獻是無與倫比的。
首先，我們用模型化假說表述馬克思的擴大再生產(chǎn)圖式：(1)整個經(jīng)濟分為兩大部門：生產(chǎn)資料生產(chǎn)部門(第I部類)和消費資料生產(chǎn)部門(第II部類)；(2)沒有技術(shù)進步，故經(jīng)濟中的生產(chǎn)函數(shù)保持不變，且資本-勞動比率也不變；(3)勞動和生產(chǎn)資料的所有生產(chǎn)要素的投入，在每一周轉(zhuǎn)期內(nèi)都完全地移轉(zhuǎn)到商品中去了。于是，整個生產(chǎn)過程用價值形式表示成：
I： c1+v1+m1=w1
II： c2+v2+m2=w2
I+II：c+v+m=w
式中c，v，m，w分別表示不變資本，可變資本，剩余價值和價值，下標表示相應(yīng)的部類。
馬克思認為每一部類有三個比率：
（1）剩余價值率：
mi = mi /vi
（2）利潤率：
gi = mi /ci+vi
（3）資本的有機構(gòu)成：
qi= ci /vi
馬克思確信資本主義的競爭會使各部門的剩余價值率均等化，從而平衡時，
m=m1=m2
同樣，利潤率也趨于均等，
g = g1 =g2
在馬克思的模式中，資本的有機構(gòu)成反映技術(shù)的進步，而且q1≠q2。如果真是這樣，則可推導(dǎo)出，
c1 /c2 =m1 /m2
或
m1 /c1 = m2 / c2
顯然，均衡的條件偏多。
經(jīng)濟的增長在于積累，假設(shè)mi中積累了aci，追加雇用工人avi，被資本家消費了ki，則
mi =ki + aci +avi
圖式改寫成
I：c1+v1+k1+ac1+av1 =w1
II：c2+v2+k2+ac2+av2 =w2
I+II：c+v+k+c+v=w
為了使部類之間能夠平衡，消費品的需求總量必須等于消費品的供給量，即
v1+k1+av1+v2+k2+av2 =w2
而且生產(chǎn)資料的需求量也必須等于生產(chǎn)資料的供給總量，即
c1+ac1+c2+ac2 =w1
從這兩個式子中都可以導(dǎo)出均衡式：
v1+av1+k1 =c2+ac2
反之亦然。馬克思設(shè)想先確定第I 部類的積累率，然后相應(yīng)地調(diào)整第II部類的積累率以達到均衡狀態(tài)。這里兩大部類的積累率不相同。即
a1 / m1 ≠a2 /m2
ai表示部類i的積累?；隈R克思的理論，鮑爾提出了他的模型(1913)。它可以輕易地轉(zhuǎn)變成哈羅德一多馬模型，因此，認為馬克思是現(xiàn)代增長理論的先驅(qū)決非過譽。
每個社會在人口增長時，必須逐年擴大其生產(chǎn)能力，以維持消費水平。這就需要資本積累，而在資本主義條件下任何積累的來源是剩余價值，如果人口增長率或相當于它的勞動力增長率b不變，那么v亦不變。若m亦不變，則剩余價值
m=mv
也就不變，這時被積累的m=ac+av+k，當用于不變資本的積累的比率a也是不變的，則
act =act
于是不變資本的增長取決
ct =(1+a)ct-1
積累用作可變資本的比率應(yīng)是人口增長的比率b，故
avt =bvt
于是
vt=(1+b)vt-1
剩余價值的增長是
mt=mvt=m(1+b)vt-1
勞動價值理論中新價值的增殖依靠活勞動的支出，這與現(xiàn)代的”國民收入”的概念相近。國民收入是可變資本加上剩余價值。故
yt=vt+mt
=(1+b)vt-1+m(1+b)vt-1
=(1+m)(1+b)vt-1
=(1+b)yt-1
顯然，馬克思可以得出一切財富是勞動創(chuàng)造的，當然這時沒考慮技術(shù)進步。稍加整理，我們有
ct = (1+a)t-1 c1
vt = (1+b)t-1 v1
mt = (1+b)t-1 m1 =m (1+b)t-1 v1
yt = (1+b)t-1 y1 = (1+m)(1+b)t-1 v1
類似地，
act = a (1+a)t-1 c1
avt = b(1+b)t-1 v1
初始狀態(tài)
y1 =m1 +v1
在完全市場經(jīng)濟條件下，資本的積累依賴于投資家?quot;任意”決定，而為了與人口增長保持均衡，資本的積累必須有某種相應(yīng)的動作。但是只有在政府部門宏觀指導(dǎo)下，才能使生產(chǎn)能力的增長和消費品的增加與人口增長保持著同步。如果m不變,q1,q2上升，則a亦上升，因此馬克思認為a>b是可能的。它們之間的聯(lián)系是什么呢？我們注意到國民收入的增長率
這說明國民收入將與人口增長同步，積累率
則表明a>b使經(jīng)濟系統(tǒng)不穩(wěn)定。依據(jù)勞動價值理論（a>b），計入不變資本的毛收入gG?a (t?￥)。而且在發(fā)展過程中，利潤率由于有機構(gòu)成的提高而有所下降
?0 （t?￥）
可以看出馬克思正是透過這種圖式，預(yù)見到資本主義初期發(fā)展的不穩(wěn)定性。從上述模型還可以看出資本家會自動扼制資本有機構(gòu)成的提高，以維持較高的利潤率。
如果將前述假設(shè)改成a=b，則資本主義經(jīng)濟系統(tǒng)中用于積累的剩余價值不會被耗盡，而且資本有機構(gòu)成和利潤率將保持不變。我們考慮均衡增長的情況下，馬克思的擴大再生產(chǎn)模式是如何得到哈羅德模型的。哈羅德的均衡等式為
Dy/y=s
式中y是國民收入，s是平均（邊際）消費傾向，
S=sy
s =Dy/DG
s是資本一產(chǎn)出率，S是儲蓄，G是資本存量其保證的增長率
gw=ss
在均衡下，哈羅德要求實際增長率gA等于保證的增長率gw，而兩者都必將等于人口增長率b，即
gA=gw=b=ssw
其中ssw是保證的資本產(chǎn)出率。于是
yt=(1+m)v1 (1+b)t-1
如果依據(jù)馬克思的理論：資本家儲蓄剩余價值m中沒有用于消費的部分，整個經(jīng)濟中消費掉的有v，av和k，因而
St=yt-(vt+avt+kt)
=(vt+mt)-(vt+avt+kt)
=act
即整個經(jīng)濟能夠儲蓄的數(shù)額S，恰好等于資本家愿意追加的不變資本的數(shù)額ac。這就是凱恩斯理論中的投資I=S的前身！因此
GA=Gw=ss=b
這說明馬克思的模式能滿足哈羅德的平均增長條件。請留意，馬克思的模式中s?￥,(t?￥)且s?0 (t?￥)；而哈羅德的模式中，s和s是不變的。當a=b時，s與s不變，故馬克思的理論說明資本主義經(jīng)濟中，隨著資本密集化資本一產(chǎn)出率持續(xù)下降，經(jīng)濟的持續(xù)增長要求儲蓄傾向抵消資本一產(chǎn)出率的下跌。但資本家的消費將在一定的時期后被耗盡。
kt=mt-(act+avt)
=v1(1+b)t-1 (m-b)－ac1 (1+a)t-1
這個就會使資本家盡力壓低勞動力的追加工資，從而相對貧困在所難免。綜上所述，馬克思的擴大再生產(chǎn)圖式是宏觀增長理論的前身，而且遠比哈羅德模型深刻。
如果將兩部類聯(lián)合起來來考慮，有以下三個假設(shè)：
（1）兩大部類的積累率相同
a1 /m1 = a2 /m2 = a/m
（2）部類間的均衡條件
(1+m)vI =cI +ac
（3）部類間的不變資本積累和可變資本積累相同
問題是1)由于轉(zhuǎn)移到第I部類的剩余價值資金，在其生成的部類尚未分成不變資本和可變資本，所以acII和avII就不能這樣被轉(zhuǎn)移。2)要求資本依其所生成的部類的有機構(gòu)成來轉(zhuǎn)移，而不是按照受它的那個部類的有機構(gòu)成來轉(zhuǎn)移，這也不太合理。但上述三個假設(shè)決定了兩部類內(nèi)的轉(zhuǎn)移機制，正是以此為依據(jù)，部類I增長必須快于部類II的增長。這時，
顯然,cI, vI不斷增長, cII, vII趨于零。結(jié)果同說明了這個體系是不穩(wěn)定的。原因仍是a>b。所以只有a=b，才能使資本主義體制穩(wěn)定。
§8.4 效用函數(shù)與生產(chǎn)函數(shù)
在這一節(jié)里，我們要學(xué)習(xí)經(jīng)濟學(xué)家是如何利用數(shù)學(xué)模型描述他們心目中的市場經(jīng)濟的。人們已經(jīng)注意到經(jīng)濟學(xué)語言轉(zhuǎn)化成形式化數(shù)學(xué)語言的困難在于經(jīng)濟學(xué)術(shù)語的多層次性。例如市場一詞在經(jīng)濟學(xué)中有六個層次的含意：1）考慮一種商品時，市場是該商品的買方和賣方相互交易、進行交換的地方；2）一組特殊的買方，如初級市場；3）一種已知商品的買方和賣方，如小麥市場；4）商業(yè)區(qū)，如北京王府井；5）在馬歇爾經(jīng)濟學(xué)中，市場是理想的、在任何給定時刻的價格對一切買賣雙方是同樣的地方；6）口語中，市場有市場價值的意思。鑒于這種情況，我們不標明經(jīng)濟學(xué)的觀點是否正確，立論是否嚴謹，而重點放在怎樣利用數(shù)學(xué)語言。
在我們這個世界上，人類在不停地忙碌著。他們不斷地給予和索取，為什么要取舍這些東西呢？一切經(jīng)濟單位也是這樣，什么動機促成了它們的行為是這樣而不是那樣呢？偏好是其根源。人們在享受物品或勞務(wù)中所得到的滿足叫作效用。偏好決定了人們?yōu)槭裁醋黾资露蛔鲆沂?。即甲f乙。”f”在數(shù)學(xué)里稱為序。效用可以是不道德的，甚至是負效用。如果享用第i個單位的某物品或勞務(wù)的效用記作mui，則有
mu1 > mu2 >…>
這就是邊際效用遞減規(guī)律。假如市場上有n種商品，某代理人的效用值用函數(shù)表達成
u=u(x1,x2,…xn)
則應(yīng)有
若代理人的收入為I，市場價格p=(p1，p2，…，pn)T,則他一定追求效用最大。行為由模型
maxu(x1,x2,…xn)
s.t. pTx ￡ I
表示。方程pTx = I稱為選擇預(yù)算線。如果代理人的錢財不是數(shù)不勝數(shù)，不等式約束等價于等式約束。假設(shè)上述模型的最優(yōu)解為
則得到n個需求函數(shù)
xi = xi (p1，…，pn,I)
如果固定pj, j1i, 1￡ j￡ n和I，就得到商品i的需求曲線
xi = xi (pi)
特定的 下， 稱為價格水平，若新的價格為p*，且
p*T > pTx
則稱發(fā)生了通貨膨脹。價格指數(shù) 和通貨膨脹率P分別為
這時，代理人的真實收入Ir變化了
Ir = I*/
其中I*是新收入。這時代理人的行為會發(fā)生變化，依據(jù)是
max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*Tx ￡ I*
的最優(yōu)解x*變了。顯然，如果價格和收入同步增長，則x*= 。假設(shè)相對價格或價格比率為
價格p變化到p*且收入不變。則經(jīng)濟學(xué)家認為需求變化是兩種效應(yīng)共同作用的結(jié)果，它們是
1）收入效應(yīng)：由價格變化引起某商品i的供給者的真實收入下降，從而使需求發(fā)生的變化的效應(yīng)；
2）替代效應(yīng)：由于相對價格Pij的變化，引起需求變化的效應(yīng)。
Max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*x ￡ I
x 3 0
的最優(yōu)解為 ，則 的變化表示替代效應(yīng)。若
max u(x1,x2,…xn)
s.t. p*Tx ￡ p*T ，x 3 0
的最優(yōu)解為 ，則 的變化表示收入效應(yīng)。但是經(jīng)濟學(xué)家們的觀點也不一致。?？怂梗℉icks,1946）則主張保持實際收入不變指的是新的預(yù)算超平面的法向量仍取p*，但與以前一樣的無差異曲面
u(x1,x2,…xn)=
相切。即模型
?u(x)=p*
u(x)=u( )
p*x=u( )
的解為 ，則 表示替代效應(yīng)。 表示收入效應(yīng)。無論 如何變化到 ，價格起了核心作用。我們把 的差異留給讀者思考。
價格是市場上最積極的因素，它是如何確定的呢？按規(guī)范的經(jīng)濟學(xué)觀點，市場經(jīng)濟中需求和供給確定相對價格；相對于物品流動的貨幣量決定絕對價格。我們姑且承認這些理論，從而面臨的任務(wù)是找出供給函數(shù)。
企業(yè)是經(jīng)濟中的供給單位，由于資本、勞力、技術(shù)、管理等因素的差異，企業(yè)的生產(chǎn)能力有所不同。假設(shè)某企業(yè)的生產(chǎn)函數(shù)為
y=f(x1,x2,…xn)
其中y是產(chǎn)出，x=(x1，…，xn）是投入。生產(chǎn)函數(shù)一般是相對穩(wěn)定的，數(shù)學(xué)性質(zhì)多為一階正齊次函數(shù)。假如投入的價格分別為p1，…，pn，則成本函數(shù)為
c(x)= pTx
在市場經(jīng)濟的條件下，企業(yè)追逐最大利潤，在客觀上要求企業(yè)內(nèi)部對投入進行最佳組合，即在費用一定的情況下盡可能多生產(chǎn)出產(chǎn)品來。模型
max |(x)
s.t. pTx ￡ c
x 3 0
說明了企業(yè)的行為，其中pTx￡c是成本預(yù)算約束，一般可改為等式。從優(yōu)化模型中解出的
x=x(p1,p2…,pn,c)
稱為對投入的需求分配，將其代入生產(chǎn)函數(shù)后，得到
y=f[x(p1,p2,…pn,c)] 解其關(guān)于c的反函數(shù)，即生產(chǎn)成本函數(shù)，
c=c(p1,p2…,pn,y)
再固定投入價格p，就得到生產(chǎn)成本曲線
c=c(y)
在生產(chǎn)成本中，隨著產(chǎn)出量的變動而變動的部分叫做變動成本，不隨著產(chǎn)出量的變動而變動的部分叫固定成本。它們分別是(或等于)c(0)和c(y)-c(0)。設(shè)產(chǎn)出的價格為p0，則利潤為
P=p0y－c(y)
將P極大化解出最佳產(chǎn)出量 ，這時邊際收益MR等于邊際成本MC，即
解出
或反解成
y=y(p0)
這正是企業(yè)的供給曲線。換言之，邊際成本曲線就是供給曲線。產(chǎn)出y也是市場上的商品，那么我們對某種商品得出其需求曲線D=D(p0)和供給曲線S=S(p0)后，就可以由模型
確定該商品的均衡價格p0*和均衡量Q*=D*=S*。關(guān)于競爭的市場經(jīng)濟中，需求方程和供給方程最重要的一點不是它們能確定相對價格和產(chǎn)出量，而是價格和產(chǎn)出被確定的方式。
企業(yè)對某種投入的需求也可以從模型中得到解釋，生產(chǎn)函數(shù)y=f(x1,x2,…xn)的偏導(dǎo)數(shù) 的經(jīng)濟含意是該投入的邊際產(chǎn)出率，那么如果
>pi
則表示增加投入Dxi帶來的收益p0Dy大于費用的增加piDxi，于是企業(yè)增加投入xi。因為邊際產(chǎn)出率遞減，所以當
=pi
時，企業(yè)停止投入xi。
如果某市場上出現(xiàn)壟斷，這時產(chǎn)出仍由邊際收益和邊際成本的交點確定，但是價格由產(chǎn)出代入需求函數(shù)而定。即由
解出y*，再由
y*=y(p0)
解出p0*。
最后，對整個市場經(jīng)濟體系而言，若其產(chǎn)出為x1，…，xn，由一切產(chǎn)出的可能組合應(yīng)構(gòu)成一個生產(chǎn)可能性集合R，全社會的福利由效用函數(shù)U(x1，…，xn)表示，則一般來說，R是凸集，且U(x1，…，xn)是凹函數(shù)。R的外點構(gòu)成的曲面叫作生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲面。在最優(yōu)解點上，生產(chǎn)轉(zhuǎn)換曲面的梯度應(yīng)和全社會無差異曲面的梯度一致。而梯度的分量恰好是相對價格的負值。我們把這些模型留給讀者思考。 附錄1
(16.1)
將(4)代入(3)
將上式代入(16.1)
(16.2)
由于i￠=q，則由(1)
(16.3)
由(16.2)及(16.3)得
附錄2
我們首先介紹赫斯定理，它是研究一維系統(tǒng)的運動穩(wěn)定性的基礎(chǔ)。在此之前，我們引進兩個引理[6]：
引理1 考慮方程
w=cew (1)
位于w的上半平面的根。
(i)當c>0，在每一帶形區(qū)域
2kp<b<(2k+1)p (k=0,1,2,…;w=a+ib) (2)
內(nèi)，方程(1)都有一個根位于曲線
b=±(c2a2a-a2)1/2 (3)
與曲線
a=bctgb (4)
的對應(yīng)分支的唯一交點上。除此之外，當0<c<e-1時對應(yīng)于k=0的帶形區(qū)域內(nèi)，既不含曲線(3)與(4)的交點，亦不含方程(1)的根。
(ii) 當c<0，方程(1)的根都位于下列每一個帶形區(qū)域
(2k+1) p <b <2(k+1) p (k=0,1,2,…) (5)
內(nèi)的曲線(3)與(4)的交點上。
(iii) 在這兩種情況都有對應(yīng)的方程(1)的根位于w的下半平面。
(iv) 方程(1)僅當c=e-1才有實根，且w=1是方程(1)的重根。
(v) 當0 < c < e-1時，方程(1)有兩個根位于實軸的正半軸與曲線(3)的交點上。
(vi) 當c<0，方程(1)只有一個根在實軸的負半軸與曲線(3)的唯一交點上。
引理2 方程w=cew的所有根位于直線Re(w)=r的右邊，當且僅當 r < 1
及 re-r < c < e-r(f2+r2)1/2
這里對0 < f < p的f而言，f=f(r)是fctgf=r的唯一零點。
關(guān)于這兩個引理的證明是極其繁瑣的，請參閱有關(guān)專著[32]。
赫斯定理 方程wew-a1ew-a2=0的根均在Re(w)=r的左方的充要條件是a1-r<1及(a1-r)er<-a2<er[f2+(a1-r)2]1/2,這里f是在0 <f <p中方程fctgf= a1-r的唯一的根。
利用赫斯定理，我們?nèi)?br /> a1=a
a2=bq-a
w=qs
則可證明命題1。我們注意到如果取
a1=qa(1-c)/v1(1+b)+v2
a2=-q(1-c)/[v1+v2/(1+b)] w=-qs
則可利用赫斯定理證明命題2，但這里用到引理1關(guān)于根的性質(zhì)。
我們考慮函數(shù)
f(w)=wew-aew-a2
它是下單峰函數(shù)，實數(shù)域上最小值點w=a1-1，唯一的拐點w=a1-2,左極限為-a2，右極限+￥。因此，方程
wew-a1ew-a2=0
有實根的充要條件是
f(w)￡0
于是，我們得到引理3。
引理3 方程
wew-a1ew-a2=0
的根均為實數(shù)的充要條件是
-ea-1-a2￡0
從引理3中可以得一個直接推論：方程(7)的根均為復(fù)根（虛部不為零）的充要條件是
ea-1-a2 > 0
我們進一步考慮方程(7)的實根，顯然，其最大的實根位于零的左邊，必須是以下三條同時成立。
(1) f(w) ￡0
(2) f(0) > 0
(3) w < 0
反之亦然。結(jié)合赫斯定理，我們就證明了命題3。關(guān)于命題4的證明，與命題3類似，這里恕不贅述。有興趣的讀者可參閱文獻[11]，[32]。